设x,y属于(0,正无穷),若不等式根号下x+根号下y==根号下2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 00:08:40
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设x,y属于(0,正无穷),若不等式根号下x+根号下y==根号下2
设x,y属于(0,正无穷),若不等式根号下x+根号下y==根号下2
设x,y属于(0,正无穷),若不等式根号下x+根号下y==根号下2
设x,y属于(0,正无穷),若不等式√x+√y≤a√(x+y)恒成立,求证a≥√2
等式两边同时平方得:x+y+2√(xy)≤a²(x+y)
等式两边再同时除(x+y)得
1+2√(xy)/(x+y)≤a²
又因为x+y≥2√(xy)带入上式化简
所以a²≥2
即a≥√2
x>0 y>0
不等式两边都大于0 则 两边同时平方的话,不等式符号不会改变
不等式两边同时平方得 :
x+y+2根号(x*y)<=a平方*(x+y)
(1-a平方)(x+y)<=-2根号(x*y)
同时除以-1 变号得:
(a平方-1)(x+y)>=2根号(x*y)
同时除以(x+y)得:
a平方-1 >= 2...
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x>0 y>0
不等式两边都大于0 则 两边同时平方的话,不等式符号不会改变
不等式两边同时平方得 :
x+y+2根号(x*y)<=a平方*(x+y)
(1-a平方)(x+y)<=-2根号(x*y)
同时除以-1 变号得:
(a平方-1)(x+y)>=2根号(x*y)
同时除以(x+y)得:
a平方-1 >= 2根号(x*y)/(x+y)
a平方-1 大于 0
两边倒数 变号得:
1/(a平方-1)<=(x+y)/(2根号(x*y))=1/2(根号x/根号y + 根号y/根号x)
根号x/根号y + 根号y/根号x>=2 即最小值为2
那么1/(a平方-1)<= (1/2)*2=1
所以 a平方-1>=1
所以 a>=根号2
收起