作业帮设函数的定义域为(0,+∞）,且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0（1）求f(1),f(1/2)的值(2)证明f(x)在(0,+∞）上单调递增（3）一个各项均为正数的数列{an},满足f(Sn)=f(
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 11:07:02
设函数的定义域为(0,+∞）,且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0（1）求f(1),f(1/2)的值(2)证明f(x)在(0,+∞）上单调递增（3）一个各项均为正数的数列{an},满足f(Sn)=f(
设函数的定义域为(0,+∞）,且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0
（1）求f(1),f(1/2)的值
(2)证明f(x)在(0,+∞）上单调递增
（3）一个各项均为正数的数列{an},满足f(Sn)=f(an)+f[（an）+1]-1,n∈N+,求{an}通项公式
设函数的定义域为(0,+∞）,且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0（1）求f(1),f(1/2)的值(2)证明f(x)在(0,+∞）上单调递增（3）一个各项均为正数的数列{an},满足f(Sn)=f(
(1)
令x＝y＝1,则可得f(1)＝0
再令x＝2,y＝1/2,得f(1)＝f(2)＋f(1/2)＝1＋f(1/2)＝0
∴f(1/2)＝－1
(2)
任取x1,x2∈(0,＋∞),且x1＜x2,则f(x1)＋f(x2/x1)＝f(x2)
即f(x2)－f(x1)＝f(x2/x1)
∵x2/x1＞1
故f(x2/x1)＞0
即f(x2)＞f(x1)
故f(x)在(0,＋∞)上单调递增
(3)
由f(Sn)＋1＝f(an)＋f[a(n＋1)]
∴f(Sn)＋f(2)＝f(an)＋f[a(n＋1)]
∴2Sn＝an•a(n＋1),当n≥2时．
∴2S(n－1)＝a(n－1)•an,两式相减得：2an＝an²＋an－a(n－1)²－a(n－1)
∴[an＋a(n－1)][an－a(n－1)－1]＝0(n≥2)
∴an－a(n－1)＝1(n≥2)
∴an＝n
设：x=1,y=2,因f(xy)=f(x)+f(y)且f(2)=1,所以份f(2)=f(1)+f(2),故f(1)=0;设x=1/2,y=2,则f(1)=f(1/2)+f(2),故f(1/2)=-1;
由f(xy)=f(x)+f(y)可知，该函数为log函数
由当x>1时,f(x)>0可知,log函数的底a>1
所以由f(2)=1可知，log函数的底a=2
（1）f(1)=0
f(1/2)=-1
(2)因为函数已经求出，只需将函数写出，根据log函数的性质可知（或者可以再证明一下，看你自己吧）
（3）将Sn和an分别代入log函数，可根据等式得出S...
全部展开
由f(xy)=f(x)+f(y)可知，该函数为log函数
由当x>1时,f(x)>0可知,log函数的底a>1
所以由f(2)=1可知，log函数的底a=2
（1）f(1)=0
f(1/2)=-1
(2)因为函数已经求出，只需将函数写出，根据log函数的性质可知（或者可以再证明一下，看你自己吧）
（3）将Sn和an分别代入log函数，可根据等式得出Sn=[an(an+1)/2],再根据Sn-Sn-1=an联立，求出an与an-1的关系则得解（第三问an与an-1的关系有难度，自己琢磨琢磨多动动脑筋吧）
收起