实数α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标,求(α-1)^2+(β-1)^2的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/24 19:09:52
实数α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标,求(α-1)^2+(β-1)^2的最小值
实数α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标,求(α-1)^2+(β-1)^2的最小值
实数α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标,求(α-1)^2+(β-1)^2的最小值
α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标,△>=0
4m²-4m-24>=0
m>=3或m<=-2
α+β=2m
αβ=m+6
(α-1)²+(β-1)²
=α²+β²-2(α+β)+2
=(α+β)²-2αβ-2(α+β)+2
=4m²-2(m+6)-4m+2
=4m²-6m-10
=4(m-3/4)²-49/4
当m=3时,(α-1)²+(β-1)²=4(m-3/4)²-49/4取到最小值
最小值=8
由于实数α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标
则α+β=2m
同时α^2-2mα+m+6=0
β^2-2mβ+m+6=0
那么(α-1)^2+(β-1)^2=α^2+β^2-2(α+β)+2
=2m(α+β)-2(m+6)-2(α+β)+2
=4m²-6m-10=(2m-3/2)²-49/4
全部展开
由于实数α,β是二次函数y=x^2-2mx+m+6的图像与x轴的交点的横坐标
则α+β=2m
同时α^2-2mα+m+6=0
β^2-2mβ+m+6=0
那么(α-1)^2+(β-1)^2=α^2+β^2-2(α+β)+2
=2m(α+β)-2(m+6)-2(α+β)+2
=4m²-6m-10=(2m-3/2)²-49/4
由于函数与Y轴有两个交点
则有(2m)²-4(m+6)=4m²-4m-24>=0
所以又m<=-2或m>=3
所以最小值是m=3取最小值8
收起