已知函数f(n)(n属于正整数),满足条件:1.f(2)=2;2.f(xy)=f(x)f(y);3.f(n)属于正整数;4.当x>y时,f(x)>f(y)(1).求f(1),f(3)的值,(2)由f(1),f(2),f(3)的值,猜想f(n)的解析式;(3)证明你的猜想f(n)的解析式的正确性!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/28 06:54:21
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已知函数f(n)(n属于正整数),满足条件:1.f(2)=2;2.f(xy)=f(x)f(y);3.f(n)属于正整数;4.当x>y时,f(x)>f(y)(1).求f(1),f(3)的值,(2)由f(1),f(2),f(3)的值,猜想f(n)的解析式;(3)证明你的猜想f(n)的解析式的正确性!
已知函数f(n)(n属于正整数),满足条件:1.f(2)=2;2.f(xy)=f(x)f(y);3.f(n)属于正整数;4.当x>y时,f(x)>f(y)
(1).求f(1),f(3)的值,(2)由f(1),f(2),f(3)的值,猜想f(n)的解析式;(3)证明你的猜想f(n)的解析式的正确性!
已知函数f(n)(n属于正整数),满足条件:1.f(2)=2;2.f(xy)=f(x)f(y);3.f(n)属于正整数;4.当x>y时,f(x)>f(y)(1).求f(1),f(3)的值,(2)由f(1),f(2),f(3)的值,猜想f(n)的解析式;(3)证明你的猜想f(n)的解析式的正确性!
(1)由f(xy)=f(x)f(y),令x=2,y=1,
则f(2*1)=f(2)f(1),即f(2)=f(2)f(1),又f(2)=2,所以f(1)=1
令x=2,y=2,则f(2*2)=f(2)f(2),即f(4)=f(2)f(2),又f(2)=2,所以f(4)=4
由x>y时,f(x)>f(y),得4>3时,f(4)>f(3),即4>f(3),同理可得f(3)>f(2)=2,
综上4>f(3)>2.因为f(n)属于正整数,所以f(3)=3
(2)由f(1),f(2),f(3)的值,我们可猜想f(n)=n(n属于正整数)
(3)可以用数学归纳法证明猜想成立
f(1)=f(1)*f(1) 则f(1)=1 , f(4)=f(2)*f(2)=4,又f(n)属于正整数,当x>y时,f(x)>f(y),f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,f(4)=4
f(2n)=2f(n) 所以f(n)=n