一道不定积分的题.1/（cosx+a）关于x的不定积分怎么求?a是常数.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/14 11:56:29
一道不定积分的题.1/（cosx+a）关于x的不定积分怎么求?a是常数.
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一道不定积分的题.1/（cosx+a）关于x的不定积分怎么求?a是常数.
一道不定积分的题.1/（cosx+a）关于x的不定积分怎么求?a是常数.

一道不定积分的题.1/（cosx+a）关于x的不定积分怎么求?a是常数.
根据万能公式：cosx=[1-tan²(x/2)]/[1+tan²(x/2)]
∫1/(cosx+a) dx
=∫ 1/{[1-tan²(x/2)]/[1+tan²(x/2)]+a} dx
=∫[1+tan²(x/2)]/[1-tan²(x/2)+a+atan²(x/2)] dx
令u=tan(x/2),dx=2/(1+u²) du
=2∫1/[(a-1)u²+(a+1)] du
令u=√[(a+1)/(a-1)]tanβ,du=√[(a+1)/(a-1)]sec²βdβ
(a-1)u²+(a+1)=(a+1)sec²β
原式=2√(a+1)/[√(a-1)*(a+1)]*∫sec²β/sec²β dβ
=2β/√(a²-1)+C
=2/√(a²-1)*arctan{√[(a-1)/(a+1)]*u}+C
=2/√(a²-1)*arctan{√[(a-1)/(a+1)]*tan(x/2)}+C

根据积分表（十一）查得105和106.或者也可以根据三角函数有理数的积分解答，设u=tan（x/2）那么，原式=∫[2/(1+u^2)du]/[a+(1-u^2)/(1+u^2)]=∫2/[a+1+u^2(a+1)]du=2/√(a+1)arctanu√(a-1)√(a+1)+C,再代入u=tan（x/2）。

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