用向量法证明:cos(a+b)=cosa+cosb-sinasinb
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/25 23:11:01
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用向量法证明:cos(a+b)=cosa+cosb-sinasinb
用向量法证明:cos(a+b)=cosa+cosb-sinasinb
用向量法证明:cos(a+b)=cosa+cosb-sinasinb
在平面直角坐标系xoy内作单位圆O,
以Ox为始边作角α,β,它们的终边与单位圆O
的交点分别为A,B.
则OA®=(cosα,sinα),OB®=(cosβ,sinβ).
由向量数量积的坐标表示,
有OA®·OB®=cosαcosβ+sinαsinβ.
因α、β是任意角,α-β也是任意角,但总可找到一个角∈〔(0,2π)〕,使cosθ=cos(α-β).
由向量数量积的概念,有OA®·OB®=|OA®|·|OB®|cos(α-β)=cos(α-β).
若θ∈〔0,π〕,则OA®·OB®=cosθ=cos(α-β);
若θ∈〔(π,2π)〕,则2π-θ∈〔(0,π)〕,
且OA®·OB®=cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).
于是,对于任意角α,β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ┉ (1)
说明:课本还介绍了如何利用三角函数线推导公式,但还是“向量法”的推导具有优越性.
在公式(1)中,令-β代β,则可得到
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ………(2)
(1)(2)两公式的记忆口决为“两角和与差的余弦,余余正正加减相反”.
http://www.zbwz.net/bbs/showthread.asp?threadid=118
证明应该是cos(a+b)=cosacosb-sinasinb.