计算曲线积分:∫(L)(2xy^3-y^2cosx)dx+(1-2ysinx+3x^2y^2)dy.其中L是L是在抛物线2x=πy^2上由点(0.0)到(π/2.1)的一段弧.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/08 19:42:35
![计算曲线积分:∫(L)(2xy^3-y^2cosx)dx+(1-2ysinx+3x^2y^2)dy.其中L是L是在抛物线2x=πy^2上由点(0.0)到(π/2.1)的一段弧.](/uploads/image/z/2797360-16-0.jpg?t=%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E7%A7%AF%E5%88%86%EF%BC%9A%E2%88%AB%28L%29%EF%BC%882xy%5E3-y%5E2cosx%EF%BC%89dx%2B%281-2ysinx%2B3x%5E2y%5E2%29dy.%E5%85%B6%E4%B8%ADL%E6%98%AFL%E6%98%AF%E5%9C%A8%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF2x%3D%CF%80y%5E2%E4%B8%8A%E7%94%B1%E7%82%B9%280.0%29%E5%88%B0%28%CF%80%2F2.1%29%E7%9A%84%E4%B8%80%E6%AE%B5%E5%BC%A7.)
计算曲线积分:∫(L)(2xy^3-y^2cosx)dx+(1-2ysinx+3x^2y^2)dy.其中L是L是在抛物线2x=πy^2上由点(0.0)到(π/2.1)的一段弧.
计算曲线积分:∫(L)(2xy^3-y^2cosx)dx+(1-2ysinx+3x^2y^2)dy.其中L是
L是在抛物线2x=πy^2上由点(0.0)到(π/2.1)的一段弧.
计算曲线积分:∫(L)(2xy^3-y^2cosx)dx+(1-2ysinx+3x^2y^2)dy.其中L是L是在抛物线2x=πy^2上由点(0.0)到(π/2.1)的一段弧.
计算曲线积分:
∫(L) (2xy^3 - y^2cosx) dx + (1 - 2ysinx + 3x^2y^2) dy
其中L是在抛物线2x = πy^2上由点(0,0)到(π/2,1)的一段弧.
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补线:
L1:x = π/2、逆时针方向、dx = 0、由y = 0变化到y = 1
L2:y = 0、逆时针方向、dy = 0、由x = 0变化到x = π/2
由于L是顺时针方向,现在设L⁻是L的逆时针方向
∮(L⁻+L1+L2) (2xy^3 - y^2cosx) dx + (1 - 2ysinx + 3x^2y^2) dy
= ∫∫D [∂/∂x (1 - 2ysinx + 3x^2y^2) - ∂/∂y (2xy^3 - y^2cosx)] dxdy、用Green公式
= ∫∫D [(- 2ycosx + 6xy^2) - (6xy^2 - 2ycosx)] dxdy
= ∫∫D (- 2ycosx + 6xy^2 - 6xy^2 + 2ycosx) dxdy
= 0
而∫(L1) (2xy^3 - y^2cosx) dx + (1 - 2ysinx + 3x^2y^2) dy
= ∫(0→1) [0 + 1 - 2y + 3(π/2)^2y^2] dy
= ∫(0→1) [1 - 2y + (3/4)π^2 * y^2] dy
= y - y^2 + (3/4)π^2 * (1/3)y^3:(0→1)
= 1 - 1 + (3/4)π^2 * 1/3
= (1/4)π^2
而∫(L2) (2xy^3 - y^2cosx) dx + (1 - 2ysinx + 3x^2y^2) dy
= ∫(L2) 0 dx
= 0
于是∫(L⁻) + ∫(L1) + ∫(L2) = ∮(L⁻+L1+L2)
∫(L⁻) + (1/4)π^2 + 0 = 0
∫(L⁻) = - (1/4)π^2
∫(L) = (1/4)π^2
即原式∫(L) (2xy^3 - y^2cosx) dx + (1 - 2ysinx + 3x^2y^2) dy = (1/4)π^2