a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.能不能简短一点的,太长的话抄起来太慢了.但是也要讲清楚.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 18:37:19
![a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.能不能简短一点的,太长的话抄起来太慢了.但是也要讲清楚.](/uploads/image/z/2819984-32-4.jpg?t=a%2Cb%2Cc%2Cd%E4%B8%BA%E5%9B%9B%E4%B8%AA%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%BB%99%E5%AE%9A%E7%9A%84%E6%95%B4%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%3A%E4%BB%A5%E4%B8%8B%E5%85%AD%E4%B8%AA%E5%B7%AE%E6%95%B0b-a%2Cc-a%2Cd-a%2Cc-b%2Cd-b%2Cd-c%E7%9A%84%E4%B9%98%E7%A7%AF%E4%B8%80%E5%AE%9A%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E8%A2%AB12%E6%95%B4%E9%99%A4.%E8%83%BD%E4%B8%8D%E8%83%BD%E7%AE%80%E7%9F%AD%E4%B8%80%E7%82%B9%E7%9A%84%2C%E5%A4%AA%E9%95%BF%E7%9A%84%E8%AF%9D%E6%8A%84%E8%B5%B7%E6%9D%A5%E5%A4%AA%E6%85%A2%E4%BA%86.%E4%BD%86%E6%98%AF%E4%B9%9F%E8%A6%81%E8%AE%B2%E6%B8%85%E6%A5%9A.)
a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.能不能简短一点的,太长的话抄起来太慢了.但是也要讲清楚.
a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.
能不能简短一点的,太长的话抄起来太慢了.但是也要讲清楚.
a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.能不能简短一点的,太长的话抄起来太慢了.但是也要讲清楚.
证明:
1)若a,b,c,d全是偶数,那么b-a,c-b都还是偶数,乘积必然能被4整除
2)若a,b,c,d有三个是偶数,不妨设是前三个,那么b-a,c-b都还是偶数,乘积必然能被4整除
3)若a,b,c,d有两个是偶数,不妨设是前两个,那么b-a,d-c都还是偶数,乘积必然能被4整除
4)若a,b,c,d有一个是偶数,不妨设是第一个,那么c-b,d-c都还是偶数,乘积必然能被4整除
5)若a,b,c,d全是奇数,那么b-a,c-b都还是偶数,乘积必然能被4整除
下面来讨论,b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c这六个的乘积必然能被3整除
任何数整除3,之后余数无非就是0,1,2
因为a,b,c,d有四个数,那么必然有两个数除以3的余数是一样的,假设是a,b,
那么b-a就一定能整除3(因为a|3,b|3,那么b-a|3)
综上,由于3和4是互素的,所以b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除
很简单的啊,任意四个数除以4的余数只能为0,1,2,3
如果选取的4个数除以4的余数互不相同,设分别为a1 = 0,a2=1,a3=2,a4=3,那么(a3-a1)*(a4-a2)能被4整除,若有相同的,那么相同的数相减后必然能被4整除,所以这6个差的乘积能被4整除
4个数除以3的余数分别为0,1,2,那么必然存在两个数除以3的余数相同,那么他们的差能被3整除,所以这6个乘积能被3...
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很简单的啊,任意四个数除以4的余数只能为0,1,2,3
如果选取的4个数除以4的余数互不相同,设分别为a1 = 0,a2=1,a3=2,a4=3,那么(a3-a1)*(a4-a2)能被4整除,若有相同的,那么相同的数相减后必然能被4整除,所以这6个差的乘积能被4整除
4个数除以3的余数分别为0,1,2,那么必然存在两个数除以3的余数相同,那么他们的差能被3整除,所以这6个乘积能被3整除
所以乘积能被3*4=12整除。
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