已知两正数xy满足x+y=1,求z=(x+1/x)*(y+1/y)的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/18 16:19:20
已知两正数xy满足x+y=1,求z=(x+1/x)*(y+1/y)的最小值
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已知两正数xy满足x+y=1,求z=(x+1/x)*(y+1/y)的最小值
已知两正数xy满足x+y=1,求z=(x+1/x)*(y+1/y)的最小值

已知两正数xy满足x+y=1,求z=(x+1/x)*(y+1/y)的最小值
(x + 1/x) * (y + 1/y)
= [(x^2 + 1)/x] * [(y^2 + 1)/y]
= [x^2 + y^2 + (xy)^2 + 1]/xy
= [(x+y)^2 - 2xy + (xy)^2 + 1]/xy
将x+y=1代入:
= [(1 - 2xy + (xy)^2 + 1]/xy
= xy + 2/(xy) - 2
由于x+y ≥ 2√xy,则 0 < xy ≤1/4
对于对钩函数xy + 2/(xy),拐点是√2 >1/4
所以xy = 1/4时取最小值
即原式 = 1/4 + 8 -2 = 25/4
希望我的回答对你有所帮助~

路过。。。打酱油的

Z=(xy+x+y+1)/xy=1+2/xy
xy取最大值,Z为最小值
x+y=1,x=y的时候xy最大
xy=1/4
Z=9