如图,已知AC是圆O的直径,PA⊥AC.连接OP,弦CB∥OP.直线PB交直线AC于D,BD=2PA.(1)证明:直线PB是圆O的切线;(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系,并加以证明;(3)求sin∠OPA的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/15 04:42:46
![如图,已知AC是圆O的直径,PA⊥AC.连接OP,弦CB∥OP.直线PB交直线AC于D,BD=2PA.(1)证明:直线PB是圆O的切线;(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系,并加以证明;(3)求sin∠OPA的值.](/uploads/image/z/316581-69-1.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5AC%E6%98%AF%E5%9C%86O%E7%9A%84%E7%9B%B4%E5%BE%84%2CPA%E2%8A%A5AC.%E8%BF%9E%E6%8E%A5OP%2C%E5%BC%A6CB%E2%88%A5OP.%E7%9B%B4%E7%BA%BFPB%E4%BA%A4%E7%9B%B4%E7%BA%BFAC%E4%BA%8ED%2CBD%3D2PA.%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E7%9B%B4%E7%BA%BFPB%E6%98%AF%E5%9C%86O%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%8E%A2%E7%A9%B6%E7%BA%BF%E6%AE%B5PO%E4%B8%8E%E7%BA%BF%E6%AE%B5BC%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%95%B0%E9%87%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB%2C%E5%B9%B6%E5%8A%A0%E4%BB%A5%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9B%EF%BC%883%EF%BC%89%E6%B1%82sin%E2%88%A0OPA%E7%9A%84%E5%80%BC.)
如图,已知AC是圆O的直径,PA⊥AC.连接OP,弦CB∥OP.直线PB交直线AC于D,BD=2PA.(1)证明:直线PB是圆O的切线;(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系,并加以证明;(3)求sin∠OPA的值.
如图,已知AC是圆O的直径,PA⊥AC.连接OP,弦CB∥OP.直线PB交直线AC于D,BD=2PA.
(1)证明:直线PB是圆O的切线;
(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系,并加以证明;
(3)求sin∠OPA的值.
如图,已知AC是圆O的直径,PA⊥AC.连接OP,弦CB∥OP.直线PB交直线AC于D,BD=2PA.(1)证明:直线PB是圆O的切线;(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系,并加以证明;(3)求sin∠OPA的值.
(1)连接OB.
∵BC∥OP,
∴∠BCO=∠POA,∠CBO=∠POB
∵BC 是圆O的弦
∴∠BCO=∠CBO
∴∠POA=∠POB
又∵PO=PO,OB=OA,
∴△POB≌△POA.
∴∠PBO=∠PAO=90°.
∴PB是圆O的切线.
(2)2PO=3BC.
证明:∵△POB≌△POA,∴PB=PA.
∵BD=2PA,∴BD=2PB.
∵BC∥PO
∴△DBC∽△DPO
∴2PO=3BC.
(3)∵CB∥OP,
∴△DBC∽△DPO,2PO=3BC
∴2OD=3DC.
∴DC=2OC.
设OA=x,PA=y.则OD=3x,OB=x,BD=2y.
在Rt△OBD中,由勾股定理得(3x)²=x²+(2y)²整理得2x²=y².即:2OA²=PA²
∵OA>0,PA>0,
∴OA/PA=根号2/2
∴sin∠OPA= 根号3/3
(1)证明:连接OB.
∵BC∥OP,
∴∠BCO=∠POA,∠CBO=∠POB,
∴∠POA=∠POB,(1分)
又∵PO=PO,OB=OA,
∴△POB≌△POA. (3分)
∴∠PBO=∠PAO=90°.
∴PB是⊙O的切线. ...
全部展开
(1)证明:连接OB.
∵BC∥OP,
∴∠BCO=∠POA,∠CBO=∠POB,
∴∠POA=∠POB,(1分)
又∵PO=PO,OB=OA,
∴△POB≌△POA. (3分)
∴∠PBO=∠PAO=90°.
∴PB是⊙O的切线. (4分)
(2)2PO=3BC.(写PO=
3
2
BC亦可)
证明:∵△POB≌△POA,∴PB=PA. (5分)
∵BD=2PA,∴BD=2PB.
∵BC∥PO,∴△DBC∽△DPO. (6分)
∴
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(1)连结OB,标记∠AOP=∠1,∠POB=∠2,∠BOC=∠3,∠BCO=∠4。
∵CB∥OP ∴∠1=∠4 ∠2=∠3
∵OC=OB ∴∠3=∠4 ∴∠1=∠2
又∵OB=OA,OD=OD ∴∠OBP=∠OAP=90° ∴OB垂直BP
∴直线PB是圆O的切线
(2)∵△AOP≌△BOP ∴PB=P...
全部展开
(1)连结OB,标记∠AOP=∠1,∠POB=∠2,∠BOC=∠3,∠BCO=∠4。
∵CB∥OP ∴∠1=∠4 ∠2=∠3
∵OC=OB ∴∠3=∠4 ∴∠1=∠2
又∵OB=OA,OD=OD ∴∠OBP=∠OAP=90° ∴OB垂直BP
∴直线PB是圆O的切线
(2)∵△AOP≌△BOP ∴PB=PA=1/2BD ∴DB/DP=2/3
∵CB∥OP D、C、O在一直线上 ∴△DCB≌△DOP
∴PO/BC=PD/BD=3/2
(3) (说明“√”代表根号)
标记OA=OB=OC=y,BC=2x,则OP=3x,CD=2y
Rt△OBD OD²=OB²+BD² BD=2√2y
Rt△POA OP²=OA²+OP² PA=√(9x²-y²)
Rt△PDA PD²=AD²+PA² AD=4y PD=PB+BD=PA+BD==√(9x²-y²)+2√2y
∴y=√3x
∴OP=3x,OA=y=√3x
∴sin∠OPA=√3/3
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