对数的运算法则

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/27 21:14:39
对数的运算法则
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对数的运算法则
对数的运算法则

对数的运算法则
基本性质:
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(a^b)=b
3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
推导
1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b.
2、因为a^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
3、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
4、与(3)类似处理
MN=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
5、与(3)类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下:
由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导:
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

最重要的的就是乘变加:lgab=lga lgb
和除变减:lga/b=lga-lgb


有以下3条,(01)
loga(M)+loga(N)=loga(MN), M>0,N>0
loga(M)-loga(N)=loga(M/N), M>0,N>0
nloga(M)=loga(M^n) n∈R,M>0,N>0

基本性能:
1,^(日志(一)(二))= B
2日志(一)(^ B)= B
3日志(一)(MN) =日志(一)(M)+日志(N)(a)条;
日志(一)(M÷N)=日志(一)(M)日志(一)(N); /> 5,日志(一)(M n次方)= n登入(一)(M)
6,日志(n次方)M = 1/nlog(一)(M)
推导 BR /> 1时,N =...

全部展开

基本性能:
1,^(日志(一)(二))= B
2日志(一)(^ B)= B
3日志(一)(MN) =日志(一)(M)+日志(N)(a)条;
日志(一)(M÷N)=日志(一)(M)日志(一)(N); /> 5,日志(一)(M n次方)= n登入(一)(M)
6,日志(n次方)M = 1/nlog(一)(M)
推导 BR /> 1时,N =日志(一)(二),代入的n次方= B,即^(日志(一)(二))= B。
2,^ B = ^ B
吨= ^ B
^ B = T B =日志(一)(T)=日志(一)(一^ B)
3,MN = M×N的基本性质(取代M和N)

^ [日志(一)(MN)] = ^ [日志(一)(M)]×A ^ [日志(一)(N)] =(M)*(N)
索引属性
^ [日志(一)(百万)] = ^ {[日志(一)(M)] + [日志(一)(N)]}
两个种的方法,只是不同的性质,根据实际情况,使用该方法的日志(一)(MN)=日志(一)(M)+日志(一)(N)
4,和(3)相同的处理,所以
MN = M÷N
1(取代M和N)的基本属性
^ [日志(一)(M÷N)] = ^ [日志(一)(M)]÷^ [日志(一)(N)]
索引属性
^ [日志(一)(M÷N)] = ^ {[日志(一)( M)] - [日志(一)(N)]}
而且还因为指数函数是一个单调函数的/>日志(一)(M÷N)=日志(一)( M) - 日志(一)(N)类似的待遇

(3)M ^ N = M ^ N
的基本性质(更换M)
^ [登录(一)(M ^ N)] = {^ [日志(一)(M)]} n次方
^ [日志(一)(M ^ N)] = ^ {[日志(一)(M)] * N}
由于指数函数的单调函数,所以
日志(一)(M n次方)= n登入( )(M)
基本属性4促进
日志(^ n)的(B ^ M)= M / N *日志(A)(B)]
推导如下:换底(换底见下文)[:LNX日志(E)(X),E简称为自然对数
日志(^ n)的(B ^ M)= LN (B ^ M)÷LN(A ^)
变化的基本公式推导:
设置E ^ X = B ^ M,E ^ Y =一个n次方
然后登录(^ n)的(B ^ M)=日志(E ^ Y)(E ^)= X / Y
= LN(B ^),Y = LN(n次方)的:日志(^ n)的(B ^ M)= LN(B ^ M)÷LN(n次方)
可能获得的基本属性
日志(n次方)(B ^ M)= [米×LN(B)]÷[N×LN(一)] =(M÷N)×{[LN(B)]÷[LN(一)]}
再次年底的转换公式
日志(^ n)的(B ^ M)= M÷N×[日志(一)和(b)]

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