已知角α为锐角,求证:(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥3+2√2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 09:39:28
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已知角α为锐角,求证:(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥3+2√2
已知角α为锐角,求证:(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥3+2√2
已知角α为锐角,求证:(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥3+2√2
由柯西不等式知:(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥(1+1/√sinacosa)^2=[1+1/(√sin2a/2)]^2≥(1+√2)^2
=3+2√2
∴(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥3+2√2
3+2√2=(1+√2)的平方
构造函数
要证明(1+1/sina)(1+1/cosa)≥3+2√2
即证y=(1+1/sina)(1+1/cosa)
=(sinacosa+sina+cosa+1)/(sinacosa) (*)的最小值为3+2√2
令t=sina+cosa,a为锐角,则t的范围为(1,根号2]
所以2sinacosa=t^2-1
(*)转化为y=(...
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构造函数
要证明(1+1/sina)(1+1/cosa)≥3+2√2
即证y=(1+1/sina)(1+1/cosa)
=(sinacosa+sina+cosa+1)/(sinacosa) (*)的最小值为3+2√2
令t=sina+cosa,a为锐角,则t的范围为(1,根号2]
所以2sinacosa=t^2-1
(*)转化为y=(t^2-1+2t+2)/(t^2-1)
=1+2/(t-1)
该函数为定义域上的减函数
所以当t=根号2时有最小值3+2根号2
故(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥3+2√2
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