设方阵A满足等式A^2-3A-10E=0,证明A-4E可逆.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/11 11:43:37
设方阵A满足等式A^2-3A-10E=0,证明A-4E可逆.
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设方阵A满足等式A^2-3A-10E=0,证明A-4E可逆.
设方阵A满足等式A^2-3A-10E=0,证明A-4E可逆.

设方阵A满足等式A^2-3A-10E=0,证明A-4E可逆.
从A^2-3A-10E中分解出A-4E,A^2-3A-10E=(A-4E)(A+E)-6E=0,即(A-4E)(A+E)=6E,
亦即(A-4E)(A+E)/6=E,由矩阵逆的定义可知A-4E可逆,且其逆为(A+E)/6.

假设A-4E可逆 则det（A-4E)=0 ，所以 （A-4E)^2=A^2-8A+16E=0。。。。。（2）
用（2）式减去题中的原式得到 5A=26E A=26/5 E det(A-4E)不为0，矛盾，得证。
另： A^2-3A-10E=(A-5E)(A+2E)=0,得到A=5E或-2E 注意！这种解法是错的。例如
矩阵{ 1 0；...

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假设A-4E可逆 则det（A-4E)=0 ，所以 （A-4E)^2=A^2-8A+16E=0。。。。。（2）
用（2）式减去题中的原式得到 5A=26E A=26/5 E det(A-4E)不为0，矛盾，得证。
另： A^2-3A-10E=(A-5E)(A+2E)=0,得到A=5E或-2E 注意！这种解法是错的。例如
矩阵{ 1 0； 0 1} 乘以矩阵{0 1；1 0}等于0，但它们本身都不为0。

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