已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/02 21:19:05
![已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.](/uploads/image/z/3570730-34-0.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%9C%86O1%E4%B8%8E%E5%9C%86O2%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EA%E3%80%81B%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E7%82%B9O1%E5%9C%A8%E5%9C%86O2%E4%B8%8A%2CC%E4%B8%BAO2%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%28%E4%B8%8D%E4%B8%8EA%2CB%2CO1%E9%87%8D%E5%90%88%29%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BFCB%E4%B8%8E%E5%9C%86O1%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E5%8F%A6%E4%B8%80%E7%82%B9D.%E8%8B%A5C%E6%98%AF%E5%9C%86O1%E5%86%85%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E6%B1%82%E8%AF%81O1C%E2%8A%A5AD.)
已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.
已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.
若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.
已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.
根据C所外位置情况可分为两种情况,C在弧O₁A和 弧O₁B
证明:(1)C在弧O₁A上时
廷长O₁C交AD于F点;连接AO₁并廷长交O₁于E点;连接EB,AB
∵AE为直径,所以∠EBA=90°
∴∠O₁EB+∠BAO₁=90°
在O₁中, 劣弧AB所对的圆周角相等
∴∠ADB=∠O₁EB
在O₂中,劣弧O₁B所对的圆周角相等
∴∠BAO₁=∠BCO₁
又∵∠BCO₁=∠DCF
∴∠DCF=∠BAO₁
∴∠ADB+∠DCF=∠O₁EB+∠BAO₁=90°
∴∠CFD=90°
∴CO₁⊥AD
(2)C在弧O₁B上时,如图
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证明:作⊙O1直径AE、连结AB、BE,⊙O1中,∠C=∠O1AB,四边形ADBE内接于圆,∠ADC=∠E,∵AE是直径,∴∠ABE=Rt,即∠O1AB+∠E=Rt,∴∠C+∠ADC=Rt,即CO1⊥AD,证毕。
另:在直线O1C上⊙O1外、除点C外还有无数点,这些点连结B后AD不变,但这些点与O1连线是不会与AD互相垂直的,所以问题补充说“C是⊙O1外一点”但若不限定在⊙O2上的话,则...
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证明:作⊙O1直径AE、连结AB、BE,⊙O1中,∠C=∠O1AB,四边形ADBE内接于圆,∠ADC=∠E,∵AE是直径,∴∠ABE=Rt,即∠O1AB+∠E=Rt,∴∠C+∠ADC=Rt,即CO1⊥AD,证毕。
另:在直线O1C上⊙O1外、除点C外还有无数点,这些点连结B后AD不变,但这些点与O1连线是不会与AD互相垂直的,所以问题补充说“C是⊙O1外一点”但若不限定在⊙O2上的话,则不能证明。
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