已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/30 21:20:41
![已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.](/uploads/image/z/5026970-2-0.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%9C%86O1%E4%B8%8E%E5%9C%86O2%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EA%E3%80%81B%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E7%82%B9O1%E5%9C%A8%E5%9C%86O2%E4%B8%8A%2CC%E4%B8%BAO2%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%28%E4%B8%8D%E4%B8%8EA%2CB%2CO1%E9%87%8D%E5%90%88%29%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BFCB%E4%B8%8E%E5%9C%86O1%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E5%8F%A6%E4%B8%80%E7%82%B9D.%E8%8B%A5C%E6%98%AF%E5%9C%86O1%E5%86%85%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E6%B1%82%E8%AF%81O1C%E2%8A%A5AD.)
已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.
已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.
若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.
已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D.若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.
∵A、B、O1、C共圆,∴∠AO1C=∠ABD.[弧AC所对的圆周角]
∵∠AO1D、∠ABD分别是⊙O1中弧AD所对的圆心角、圆周角,∴∠AO1D=2∠ABD.
由∠AO1C=∠ABD、∠AO1D=2∠ABD,得:∠AO1D=2∠AO1C,
∴CO1是∠AO1D的平分线,而显然有:AO1=DO1,[同圆的半径相等]
∴CO1是等腰三角形AO1D中的顶角平分线, ∴CO1是等腰三角形AO1D中底边上的高,
∴CO1⊥AD.
证明:作⊙O1直径AE、连结AB、BE,⊙O1中,∠C=∠O1AB,四边形ADBE内接于圆,∠ADC=∠E,∵AE是直径,∴∠ABE=Rt,即∠O1AB+∠E=Rt,∴∠C+∠ADC=Rt,即CO1⊥AD,证毕。
另:在直线O1C上⊙O1外、除点C外还有无数点,这些点连结B后AD不变,但这些点与O1连线是不会与AD互相垂直的,所以问题补充说“C是⊙O1外一点”但若不限定在⊙O2上的话,则...
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证明:作⊙O1直径AE、连结AB、BE,⊙O1中,∠C=∠O1AB,四边形ADBE内接于圆,∠ADC=∠E,∵AE是直径,∴∠ABE=Rt,即∠O1AB+∠E=Rt,∴∠C+∠ADC=Rt,即CO1⊥AD,证毕。
另:在直线O1C上⊙O1外、除点C外还有无数点,这些点连结B后AD不变,但这些点与O1连线是不会与AD互相垂直的,所以问题补充说“C是⊙O1外一点”但若不限定在⊙O2上的话,则不能证明。
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