作业帮高中数学题求详解,一道立体几何题,(2)用向量法怎么做?整体思路是?此题难度如何?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/07 13:49:21
高中数学题求详解,一道立体几何题,(2)用向量法怎么做?整体思路是?此题难度如何?
高中数学题求详解,一道立体几何题,(2)用向量法怎么做?整体思路是?此题难度如何?
高中数学题求详解,一道立体几何题,(2)用向量法怎么做?整体思路是?此题难度如何?
解析：∵一几何体,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,AA1//DD1//CC1//BE,AA1=DD1=CC1=AB,D1E⊥面D1AC,AA1⊥底面ABCD
∴AC⊥BD交于O,过O作OZ⊥底面ABCD
建立以O为原点,以OA方向为X轴,以OD方向为Y轴,以OZ方向为Z轴正方向的空间直角坐标系O-xyz
设AB=2
则点坐标：O(0,0,0),A(√3,0,0),B(0,-1,0),C(-√3,0,0),D(0,1,0),A1(√3,0,2),C1(-√3,0,1),D1(0,1,2),E(0,-1,z)
(1)向量ED1=(0,2,2-z),向量CA=(2√3,0,0),向量D1A=(√3,-1,-2)
∵D1E⊥面D1AC,∴向量ED1*CA=0；向量ED1*D1A=0==>-2-2(2-z)=0==>z=3；
∴E(0,-1,3)
∵D1A=D1C,∴D1O⊥AC,D1O=√(DO^2+DD1^2)=√5
∵EA=EC,∴EO⊥AC,EO=√(BO^2+BE^2)=√10
|向量ED1|=√5
由余弦定理cos∠EOD1=(OE^2+OD1^2-ED1^2)/(2OE*OD1)=√2/2
∴二面角D1-AC-E的大小为45°;
(2)假设D1E上存在一点P,使得A1P//面EAC
令D1P/PE=λ
∴向量D1P=λ向量PE=λ向量(D1E-D1P)
由定比分点坐标可知P(0,(1-λ)/(1+λ),(2+3λ)/(1+λ))
∴向量D1P=(0,-2λ/(1+λ),λ/(1+λ))
∴向量A1P=(-√3,(1-λ)/(1+λ),λ/(1+λ))
向量EA=(√3,1,-3),向量EC=(-√3,1,-3)
设向量m=(x,y,z)是面EAC的一个法向量
向量EA*m=√3x+y-3z=0
向量EC*m=-√3x+y-3z=0
令z=1,得向量m=(0,3,1)
∵A1P∥平面EAC,∴向量A1P⊥向量m
∴向量A1P*向量m=0+3(1-λ)/(1+λ)+λ/(1+λ)=0
∴λ=3/2
∴存在一点P,使得A1P∥平面EAC,此时D1P/PE=3/2