一道线性代数的考研题 设A=(α1,α2,α3,α4)是4阶方阵,若(1,0,1,0)T 是方程组Ax=0的一个基础解系,则A的伴随X=0的基础解系可为?我想问的是 哪一个是Ax=0的线性无关解向量?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 22:25:13
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一道线性代数的考研题 设A=(α1,α2,α3,α4)是4阶方阵,若(1,0,1,0)T 是方程组Ax=0的一个基础解系,则A的伴随X=0的基础解系可为?我想问的是 哪一个是Ax=0的线性无关解向量?
一道线性代数的考研题
设A=(α1,α2,α3,α4)是4阶方阵,若(1,0,1,0)T 是方程组Ax=0的一个基础解系,则A的伴随X=0的基础解系可为?我想问的是 哪一个是Ax=0的线性无关解向量?
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先看条件
Ax=0 的一个基础解系是 [1,0,1,0]^T
这说明
1) x_1 = [1,0,1,0]^T 是Ax=0 的一个解
2) Ax=0 的解空间是一维的,同时得到 rank(A)=3
3) 0 = A * [1,0,1,0]^T = α1+α3,即 α3=-α1,所以 {α1,α2,α4} 是线性无关的
进一步考察 adj(A)x=0 的解空间需要对伴随阵 adj(A) 比较熟
首先,从 rank(A)=3=4-1 可得 rank(adj(A))=1
注意 A*adj(A)=adj(A)*A=det(A)*I=0
所以 A 的每一列都是 adj(A)x=0 的解,而解空间又是三维的,所以{α1,α2,α4} 就是一个基础解系
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