(y^2-3x^2)dy-2xydx=0在x=0,y=1下的特解

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/06 13:04:51
(y^2-3x^2)dy-2xydx=0在x=0,y=1下的特解
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(y^2-3x^2)dy-2xydx=0在x=0,y=1下的特解
(y^2-3x^2)dy-2xydx=0在x=0,y=1下的特解

(y^2-3x^2)dy-2xydx=0在x=0,y=1下的特解
(y^2-3x^2)/(2xy)=dx/dy,
dx/dy=(y/x)/2-(3/2)(x/y),(1)
设v=x/y,x=vy,
dx/dy=1/(2v)-3v/2,(2)
dx/dy=v+ydv/dy,(3)
对比（2）式和（3）式,
1/（2v)-3v/2=v+ydv/dy,
2vdv/(1-5v^2)=dy/y,
-(1/5)∫d(1-5v^2)/(1-5v^2)=∫dy/y,
y=C(1-5v^2)^(-1/5),
y=C[1-5(x/y)^2]^(-1/5),
当x=0时,y=1,代入,
1=C（1-0）^(-1/5),
C=1,
∴特解为：y=[1-5(x/y)^2]^(-1/5),
y^5-5x^2y^3=1.

分组得：y^2dy-(3x^2dy+2xydx)=0
注意到3x^2dy前面的3应该由y^3求导而来，故乘以y^2得：
y^4dy-(3x^2y^2dy+2xy^3dx)=0,或：y^4dy-d(x^2y^3)=0
通解为：y^5/5-x^2y^3=C
将x=0,y=1代入得：C=1/5
所求特解为：y^5-5x^2y^3=1

这种方法很少有人想到的。

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