作业帮拉格朗日中值定理的应用应用拉格朗日中值定理的题会怎么出?最好是证明题.举个例子讲解.不要高数书上的例题！
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 18:55:13
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拉格朗日中值定理的应用
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不要高数书上的例题！
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(1) e^x > ex (x>1)
证明：设f(x)=e^x ,则f(x)在区间[1,x]上连续,在区间(1,x)内可导,
由拉格朗日中值定理,存在c∈(1,x),使f(x) - f(1)=f '(c)(x -1),即e^x -e=e^c(x -1) ,
因为c>1,所以e^x -e=e^c(x -1)>e(x -1),即e^x >ex.证毕.
(2) b - a > 1/a -1/b (b>a>1)
证明：设f(x)=1/x ,则f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,
由拉格朗日中值定理,存在c∈(a,b),使f(b) - f(a)=f '(c)(b -a),即1/b -1/a = -c^(-2)(b -a),
因为c>a>1,所以1/b -1/a = -c^(-2)(b -a)1/a -1/b中右边通分得1/a -1/b=(b - a)/ab
所以不等式(2)即 1>1/ab,即 ab>1,显然成立.
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