求积分：积分号（x^2+1）/(x *(根号下x^4+1)) dx

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/05 12:10:21
求积分：积分号（x^2+1）/(x *(根号下x^4+1)) dx
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求积分：积分号（x^2+1）/(x *(根号下x^4+1)) dx
求积分：积分号（x^2+1）/(x *(根号下x^4+1)) dx

求积分：积分号（x^2+1）/(x *(根号下x^4+1)) dx
过程很简单,用第二类换元积分法便可解决请看图：



原式＝∫［x/√（x^4＋1）］dx＋∫｛1/［x√（x^4＋1）］｝dx
　　＝（1/2）∫［1/√（x^4＋1）］d（x^2）＋∫｛x/［x^2√（x^4＋1）］｝dx
　　＝（1/2）∫［1/√（x^4＋1）］d（x^2）＋（1/2）∫｛1/［x^2√（x^4＋1）］｝d（x^2）
令x^2＝u，则：
原式＝（1/2）∫［1/√（u^2＋1）］du＋（1/2）...

全部展开

原式＝∫［x/√（x^4＋1）］dx＋∫｛1/［x√（x^4＋1）］｝dx
　　＝（1/2）∫［1/√（x^4＋1）］d（x^2）＋∫｛x/［x^2√（x^4＋1）］｝dx
　　＝（1/2）∫［1/√（x^4＋1）］d（x^2）＋（1/2）∫｛1/［x^2√（x^4＋1）］｝d（x^2）
令x^2＝u，则：
原式＝（1/2）∫［1/√（u^2＋1）］du＋（1/2）∫｛1/［u√（u^2＋1）］｝du
　　＝（1/2）∫［1/√（u^2＋1）］du＋（1/2）∫｛u/［u^2√（u^2＋1）］｝du
　　＝（1/2）∫［1/√（u^2＋1）］du＋（1/4）∫｛1/［u^2√（u^2＋1）］｝d（u^2）
令u＝tanθ，得：sinθ＝u/√（u^2＋1），√（u^2＋1）＝1/cosθ，du＝［1/（cosθ）^2］dθ；
再令√（u^2＋1）＝t，得：u^2＝t^2－1，∴d（u^2）＝2tdt。
于是：
原式＝（1/2）∫｛［1/（cosθ）^2］/（1/cosθ）｝dθ＋（1/4）∫［1/（t^2－1）t］（2t）dt
　　＝（1/2）∫（1/cosθ）dθ＋（1/4）∫［2/（t^2－1）］dt
　　＝（1/2）∫［cosθ/（cosθ）^2］dθ＋（1/4）∫｛（t＋1－t＋1）/［（t＋1）（t－1）］｝dt
　　＝（1/2）∫｛1/［1－（sinθ）^2］｝d（sinθ）＋（1/4）∫［1/（t－1）］dt
　　　－（1/4）∫［1/（t＋1）］dt
　　＝（1/4）∫｛（1＋sinθ＋1－sinθ）/［（1＋sinθ）（1－sinθ）］｝d（sinθ）
　　　＋（1/4）ln｜t－1｜－（1/4）ln｜t＋1｜
　　＝（1/4）∫［1/（1－sinθ）］d（sinθ）＋（1/4）∫［1/（1＋sinθ）］d（sinθ）
　　　＋（1/4）ln｜t－1｜－（1/4）ln｜t＋1｜
　　＝－（1/4）ln｜1－sinθ｜＋（1/4）ln｜1＋sinθ｜＋（1/4）ln｜t－1｜－（1/4）ln｜t＋1｜
＋C
　　＝（1/4）ln｜1＋u/√（u^2＋1）｜－（1/4）ln｜1－u/√（u^2＋1）｜
　　　＋（1/4）ln｜√（u^2＋1）－1｜－（1/4）ln｜√（u^2＋1）＋1｜＋C
　　＝（1/4）ln｜1＋x^2/√（x^4＋1）｜－（1/4）ln｜1－x^2/√（x^4＋1）｜
　　　＋（1/4）ln｜√（x^4＋1）－1｜－（1/4）ln｜√（x^4＋1）＋1｜＋C
　　＝（1/4）ln｜√（x^4＋1）＋x^2｜－（1/4）ln｜√（x^4＋1）－x^2｜
　　　＋（1/4）ln｜√（x^4＋1）－1｜－（1/4）ln｜√（x^4＋1）＋1｜＋C

收起

求积分：积分号（x^2+1）/(x *(根号下x^4+1)) dx x^2/（1+x） 求积分 求积分（1+x^2）^0.5 利用定义求定积分定积分号（积分下限0积分上限1）e^x dx 如何求积分?积分号(2x-1)/(x^2-x+3)dx x^2/(1+x^2)求积分 x.e^（-x/2）求积分 求积分x/(x^2+1) 求积分 1/(4x-x^2) 求（x+1)(x-2)^10 积分 求积分 高数题如何求x/（1+x^2）dx 的积分?望高手赐教. 求定积分∫（dx）/（x+（1-x^2)^1/2),积分上限是1,积分下限是0, 求积分 积分号(1/2)x(e^x)(sinx-cosx)dx.这个积分怎么积啊,求求积分 积分号(1/2)x(e^x)(sinx-cosx)dx.这个积分怎么积啊, x^2-1 积分 积分(sint)^2/t^2,积分区间是（1/X,1）这个积分怎么求?当x趋向无穷大时,这个积分的极限等于多少? 关于matlab求积分的问题一个二重定积分,积分函数是√（1-x^2）,积分域为x^2+y^2 积分上限2,积分下限1,求√x*lnx的定积分, 求x/(x-1)(x-2)(x-3)积分