设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵这个是答案:设λ是A的特征值则 λ^3-2λ^2+4λ-3 是 A^3-2A^2+4A-3E 的特征值而 A^3-2A^2+4A-3E=0,零矩阵的特征值只能是0所以 λ^3-2λ^2+4λ-3=0.λ^3-2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 12:55:01
![设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵这个是答案:设λ是A的特征值则 λ^3-2λ^2+4λ-3 是 A^3-2A^2+4A-3E 的特征值而 A^3-2A^2+4A-3E=0,零矩阵的特征值只能是0所以 λ^3-2λ^2+4λ-3=0.λ^3-2](/uploads/image/z/3892198-22-8.jpg?t=%E8%AE%BEA%E4%B8%BAn%E9%98%B6%E5%AE%9E%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%9F%A9%E9%98%B5%2C%E4%B8%94%E6%BB%A1%E8%B6%B3A%5E3-2A%5E2%2B4A-3E%3DO%2C%E8%AF%81%E6%98%8EA%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%BF%99%E4%B8%AA%E6%98%AF%E7%AD%94%E6%A1%88%EF%BC%9A%E8%AE%BE%CE%BB%E6%98%AFA%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E5%88%99+%CE%BB%5E3-2%CE%BB%5E2%2B4%CE%BB-3+%E6%98%AF+A%5E3-2A%5E2%2B4A-3E+%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E8%80%8C+A%5E3-2A%5E2%2B4A-3E%3D0%2C%E9%9B%B6%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E5%8F%AA%E8%83%BD%E6%98%AF0%E6%89%80%E4%BB%A5+%CE%BB%5E3-2%CE%BB%5E2%2B4%CE%BB-3%3D0.%CE%BB%5E3-2)
设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵这个是答案:设λ是A的特征值则 λ^3-2λ^2+4λ-3 是 A^3-2A^2+4A-3E 的特征值而 A^3-2A^2+4A-3E=0,零矩阵的特征值只能是0所以 λ^3-2λ^2+4λ-3=0.λ^3-2
设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵
这个是答案:
设λ是A的特征值
则 λ^3-2λ^2+4λ-3 是 A^3-2A^2+4A-3E 的特征值
而 A^3-2A^2+4A-3E=0,零矩阵的特征值只能是0
所以 λ^3-2λ^2+4λ-3=0.
λ^3-2λ^2+4λ-3=(λ-1)(λ^2-λ+3)=0
而实对称矩阵的特征值是实数
所以A的特征值都是1.
所以A为正定矩阵.
个人觉得有问题啊,高数里Cayley-Hamilton定理:特征多项式fx=0导出fA=0,但是fA=0未必特征多项式就是fx=0,这题如果A^3-2A^2+4A-3E=O右乘(A+E),结论还是成立,
即(A+E)(A^3-2A^2+4A-3E)=O,这时就有负特征值,
高数里Cayley-Hamilton定理,写错了 是高等代数里的
设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵这个是答案:设λ是A的特征值则 λ^3-2λ^2+4λ-3 是 A^3-2A^2+4A-3E 的特征值而 A^3-2A^2+4A-3E=0,零矩阵的特征值只能是0所以 λ^3-2λ^2+4λ-3=0.λ^3-2
这里用到的是如下结论:
若多项式f(x)满足f(A) = 0,则A的特征值都是f(x) = 0的根.
取一个特征向量就能证明.
这里没说f(x)是特征多项式,也没说f(x) = 0的所有根都是A的特征值.