设函数f(x)的定义域为自然数集,若f(x+y)=f(x)+f(y)+x对任意自然数x,y恒成立,且f(1)=1,求f(x)的解析式.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 08:07:54
设函数f(x)的定义域为自然数集,若f(x+y)=f(x)+f(y)+x对任意自然数x,y恒成立,且f(1)=1,求f(x)的解析式.
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设函数f(x)的定义域为自然数集,若f(x+y)=f(x)+f(y)+x对任意自然数x,y恒成立,且f(1)=1,求f(x)的解析式.
设函数f(x)的定义域为自然数集,若f(x+y)=f(x)+f(y)+x对任意自然数x,y恒成立,且f(1)=1,求f(x)的解析式.

设函数f(x)的定义域为自然数集,若f(x+y)=f(x)+f(y)+x对任意自然数x,y恒成立,且f(1)=1,求f(x)的解析式.
f(x+y)=f(x)+f(y)+x
令x=0得f(y)=f(0)+f(y),f(0)=0
令y=1得f(x+1)=f(x)+x+1
f(x)-f(x-1)=x
f(x-1)-f(x-2)=x-1
...
f(2)-f(1)=2
累加:f(x)-f(1)=(x+2)(x-1)/2 (x>1)
f(x)=x²/2+x/2 0和1满足

anranlethe 算错了,0这里不能被看作自然数,因而不能代入以上等式来求解。令x=1,y=x(x为任意自然数),可得:f(1+x)-f(x)=f(1)+1=2,所以f(x)是公差为2的等差数列,初始项f(1)=1,即f(x)=1+2*(x-1) 。

令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1,
∴ f(1) = 1
f(2)= f(1) +2
f(3) = f(2) +3

f(n) = f(n-1) +n
各式相加得:f(n) = 1+2+3+…+n =
∴ f(x) =
数自己算!

当x=o,y=0时,f(0)=f(0)+f(0)+0=0
当x=0,y=1时,f(1)=f(0)+f(1)+0=1
当x=1,y=0时,f(1)=f(1)+f(0)+1=1
所以这个题出错了