已知正数a,b,c满足1/a+1/b+1/c=1,证明:a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)大于等于9/4、
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 18:22:43
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已知正数a,b,c满足1/a+1/b+1/c=1,证明:a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)大于等于9/4、
已知正数a,b,c满足1/a+1/b+1/c=1,证明:a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)大于等于9/4、
已知正数a,b,c满足1/a+1/b+1/c=1,证明:a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)大于等于9/4、
令1/a=x 1/b=y 1/c=z
则x+y+z=1
(1+x)+(1+y)+(1+z)=4 (1)
a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)=1/(1/a+1)+1/(1/b+1)+1/(1/c+1) 变为
1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)>=9/4
[1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)]((1+x)+(1+y)+(1+z))
=1+(1+y)/(1+x)+(1+z)/(1+x)+1+(1+x)/(1+y)+(1+z)/(1+y)+1+(1+x)/(1+z)+(1+y)/(1+z)
=3+[(1+y)/(1+x)+(1+x)/(1+y)]+[(1+z)/(1+y)+(1+y)/(1+z)]+[(1+z)/(1+x)+(1+x)/(1+z)]
>=3+6
=9
(1)=4
所以
1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)>=9/4
所以 a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)>=9/4
你知道凸函数的定义和性质么?我想到的方法是应用凸函数性质
对所要证明的不等式a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)>=9/4进行变换得到1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)<=3/4
在进行变换得到(1/a)/(1+1/a)+(1/b)/(1+1/b)+(1/c)/(1+1/c)<=3/4
考虑函数f(x)=x/(1+x),求二阶导可得出函数是凸函数,由此...
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你知道凸函数的定义和性质么?我想到的方法是应用凸函数性质
对所要证明的不等式a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)>=9/4进行变换得到1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)<=3/4
在进行变换得到(1/a)/(1+1/a)+(1/b)/(1+1/b)+(1/c)/(1+1/c)<=3/4
考虑函数f(x)=x/(1+x),求二阶导可得出函数是凸函数,由此得出
f(p1x1+p2x2+p3x3)<=p1f(x1)+p2f(x2)+p3f(x3),取p1=p2=p3=1/3;x1=1/a,x2=1/b,x3=1/c
则可得出
f(1/a)/3+f(1/b)/3+f(1/c)/3<=f((1/a+1/b+1/c)/3)=f(1/3)=1/4
化简后就可以了
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