作业帮设F1,F2为椭圆x2/9+y2/4=1的两个焦点,P为椭圆上的一点,已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>PF2|,求|PF1| / |PF2|
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 05:22:15
设F1,F2为椭圆x2/9+y2/4=1的两个焦点,P为椭圆上的一点,已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>PF2|,求|PF1| / |PF2|
设F1,F2为椭圆x2/9+y2/4=1的两个焦点,P为椭圆上的一点,已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>PF2|,求|PF1| / |PF2|
设F1,F2为椭圆x2/9+y2/4=1的两个焦点,P为椭圆上的一点,已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>PF2|,求|PF1| / |PF2|
∵|PF1|>PF2|,∴P在x正半轴,顺便求得焦点为：F1(-√5,0),F2(√5,0)
1)P不是直角顶点,且|PF1|>|PF2| 则有|PF1|⊥|F1F2|,
过F2作垂线得到与椭圆交点即为P：(√5,4/3)或(√5,-4/3)
由勾股定理求得：|PF1| / |PF2|= 7/2 ；
2)P是直角顶点,则有|PF1|⊥|PF2|,
可设P坐标为：(3cosα ,2sinα),∵|PF1|>|PF2|,∴cosα>0
则：向量 |PF1|：(-√5 - 3cosα,-2sinα)
向量 |PF2|：(√5 - 3cosα,-2sinα)
∵|PF1|⊥|PF2|,∴两向量之积为0
∴0 = 9(cosα)^2 - 5 + 4(sinα)^2 = 5(cosα)^2 - 1
结合cosα>0得到cosα = 1/√5 ,∴sinα = 2/√5或-2√5
由对称性,取sinα=2/√5即可.
作PA⊥OF2于A,易得A(3/√5 ,0),∴F2A = 2/√5,且PA = 4/√5
∵△PF1F2∽△APF2 ,∴|PF1|/|PF2|=PA/F2A = 2
这样的做法太麻烦了，因为这是个三角形所以设这三个边为M、N、L，又因为有一个角是直角，且两边之和为2a。所以利用勾股定理和|PF1|+|PF2|=2a这个条件列方程组 由题意可知 a2=9、b2=4、c2=5 =》a=3、b=2、c=√5 ∴设PF1=M、PF2=N、F1F2=L ∴M+N=2a=6 情况一、当角P不是直角时 ∵有一个角为直角， ∴根据勾股定理可得 M2-N2=L2=2c=2√5 ∴可列方程组 ∴|PF1| / |PF2|= M/N=7/2 情况二、当角P是直角时 同理，可得方程组 ∴|PF1| / |PF2|= M/N=2 ∴综上所述 当角P不为直角时 |PF1| / |PF2|=7/2 当角P为直角时 |PF1| / |PF2|=2
