作业帮一道求定积分的题答案是π/2,但是没过程,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 07:58:12
一道求定积分的题答案是π/2,但是没过程,
一道求定积分的题
答案是π/2,但是没过程,
一道求定积分的题答案是π/2,但是没过程,
∫(（1+x^3）cosx)/(1+(sinx)^2)dx
=∫cosx/(1+(sinx)^2)dx +∫(x^3)*cosx/(1+(sinx)^2)dx
=∫d(sinx)/(1+(sinx)^2) +∫(x^3)*cosx/(1+(sinx)^2)dx
=arctan(sinx) +∫(x^3)*cosx/(1+(sinx)^2)dx
然后将上限π/2和下限-π/2带入上述式子
可知第一项带入后结果是π/4-（-π/4）=π/2
第二项由于区间（-π/2,π/2）对称性,而且被积函数是奇函数,所以结果为0
两项加和为π/2
PS：上下限由于输入符号的不好从键盘输入,所以另写.
简单点写 不带积分号了
原式
=cosx/(1+sin^2x) + x^3cosx/(1+sin^2x)
其中x^3cosx/(1+sin^2x)
设f(x)=x^3cosx/(1+sin^2x)
f(-x)=-f(x) 为奇函数
在积分区间[-派/2,派/2]上积分为0
所以原式=cosxdx/(1+sin^2x)
=-1/2 ...
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简单点写 不带积分号了
原式
=cosx/(1+sin^2x) + x^3cosx/(1+sin^2x)
其中x^3cosx/(1+sin^2x)
设f(x)=x^3cosx/(1+sin^2x)
f(-x)=-f(x) 为奇函数
在积分区间[-派/2,派/2]上积分为0
所以原式=cosxdx/(1+sin^2x)
=-1/2 * d[ln(2-cos^2x)]
=2*(-1/2)*[ln(2-cos^2x)]（上限派/2,下限0,因为cosx/(1+sin^2x)是偶函数)
=-ln3/2
收起
利用奇偶性，把分子展开，x三次方那部分是奇函数，在对称区间定积分为0
剩下的应该比较简单了吧