设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续 `````大学高数设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g(x)不等于0,f(a)g(b)=g(a)f(b).试证(a,b)内至少存在一点试证在(a,b)内至少存在一点ξ,使f
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/09 04:05:23
![设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续 `````大学高数设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g(x)不等于0,f(a)g(b)=g(a)f(b).试证(a,b)内至少存在一点试证在(a,b)内至少存在一点ξ,使f](/uploads/image/z/4057089-33-9.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%2Cg%28x%29%E9%83%BD%E5%9C%A8%E9%97%AD%E5%8C%BA%E9%97%B4%5Ba%2Cb%5D%E4%B8%8A%E8%BF%9E%E7%BB%AD+%60%60%60%60%60%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E9%AB%98%E6%95%B0%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%2Cg%28x%29%E9%83%BD%E5%9C%A8%E9%97%AD%E5%8C%BA%E9%97%B4%5Ba%2Cb%5D%E4%B8%8A%E8%BF%9E%E7%BB%AD%2C%E5%9C%A8%E5%BC%80%E5%8C%BA%E9%97%B4%28a%2Cb%29%E5%86%85%E5%8F%AF%E5%AF%BC%2C%E4%B8%94g%28x%29%E4%B8%8D%E7%AD%89%E4%BA%8E0%2Cf%28a%29g%28b%29%3Dg%28a%29f%28b%29.%E8%AF%95%E8%AF%81%28a%2Cb%29%E5%86%85%E8%87%B3%E5%B0%91%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%B8%80%E7%82%B9%E8%AF%95%E8%AF%81%E5%9C%A8%28a%2Cb%29%E5%86%85%E8%87%B3%E5%B0%91%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%B8%80%E7%82%B9%CE%BE%2C%E4%BD%BFf)
设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续 `````大学高数设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g(x)不等于0,f(a)g(b)=g(a)f(b).试证(a,b)内至少存在一点试证在(a,b)内至少存在一点ξ,使f
设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续 `````大学高数
设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g(x)不等于0,f(a)g(b)=g(a)f(b).试证(a,b)内至少存在一点试证在(a,b)内至少存在一点ξ,使f `(ξ)g(ξ)=f(ξ)g`(ξ).
设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续 `````大学高数设函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g(x)不等于0,f(a)g(b)=g(a)f(b).试证(a,b)内至少存在一点试证在(a,b)内至少存在一点ξ,使f
let
h(x) = f(x)/g(x),then h (x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导
h'(x)= {f(x)g'(x) - f'(x)g(x)}/ [g(x)]^2
f(a)g(b)=g(a)f(b).
=> f(a)/g(a) = f(b)/g(b)
=> h(a) = h(b)
存在ξ,∈(a,b),令到
h'(ξ,) =0
=>f `(ξ)g(ξ)-f(ξ)g`(ξ)=0
=>f `(ξ)g(ξ)=f(ξ)g`(ξ)..
构建辅助函数F(x)=f(x)/g(x),由于函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g(x)不等于0,有F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导。
又由f(a)g(b)=g(a)f(b)可得F(a)=F(b),满足罗尔定理全部条件
故在(a,b)内至少存在一点ξ使F`(ξ)=0,有[f `(ξ)g(ξ)-f(ξ)g`(ξ)]...
全部展开
构建辅助函数F(x)=f(x)/g(x),由于函数f(x),g(x)都在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g(x)不等于0,有F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导。
又由f(a)g(b)=g(a)f(b)可得F(a)=F(b),满足罗尔定理全部条件
故在(a,b)内至少存在一点ξ使F`(ξ)=0,有[f `(ξ)g(ξ)-f(ξ)g`(ξ)]/[g(ξ)]^2=0,由于g(x)不为0
所以f `(ξ)g(ξ)-f(ξ)g`(ξ)=0命题得证
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