作业帮请问如何证明三角形的三条高线交于一点?给出证明,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/13 11:27:05
请问如何证明三角形的三条高线交于一点?给出证明,
请问如何证明三角形的三条高线交于一点?
给出证明,
请问如何证明三角形的三条高线交于一点?给出证明,
最好画图
方法1：
三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF.
显然三角形ABE相似于三角形ACF,故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作三角形ABC的高AD,分别交BE,CF,AB于O1,O2,D.
由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
所以AO1=AO2,O1、O2重合,记重合点为O点,则O点均在高AD,BE,CF上,所以三角形ABC得三条高交于一点O.
方法2：
三角形ABC中,AC、AB上的高BE和CF交于O点,连接并延长AO交BC于D,只需证AD为高即可.
因为角BEC,角CFB均为直角,所以B、C、F、E四点共圆,记为圆BCFE,
由切割线定理知:AF*AB = AE*AC (4)
分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF,圆COE,
下面只需证明角BDA＝90度即可,
反证：若角BDA小于90度,则角CDA大于90度,因BO,CO分别为圆BOF,圆COE的直径,所以点D在圆BOF外,在圆COE内,由切割线定理推论
AO*AD>AF*AB （点D在圆BOF外）
AO*AD
在ΔABC中,AC、AB上的高为BE和CF。
显然ΔABE∽ΔACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作ΔABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，
由ΔAFO2∽ΔADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由ΔAEO1∽ΔADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD...
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在ΔABC中,AC、AB上的高为BE和CF。
显然ΔABE∽ΔACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作ΔABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，
由ΔAFO2∽ΔADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由ΔAEO1∽ΔADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
∴AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，
∴三角形ABC得三条高交于一点O。
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反证法吧：
先分别作出BB'⊥AC,CC'⊥AB，交点为O，连接AO并延长到BC于A'，这时候假设AA'不垂直BC。为了好打字，现设∠BAA'=∠1,∠A'AC=∠2,∠B'BC=∠3,∠C"CB=∠4.草图你画好了。
因为不垂直，所以∠1+∠B≠∠4+∠B=90°，即∠1≠∠4；同理，∠2≠∠3
所以∠1+∠2≠∠3+∠4
但是，四边形AB'OC'中 ∠1+∠2=...
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反证法吧：
先分别作出BB'⊥AC,CC'⊥AB，交点为O，连接AO并延长到BC于A'，这时候假设AA'不垂直BC。为了好打字，现设∠BAA'=∠1,∠A'AC=∠2,∠B'BC=∠3,∠C"CB=∠4.草图你画好了。
因为不垂直，所以∠1+∠B≠∠4+∠B=90°，即∠1≠∠4；同理，∠2≠∠3
所以∠1+∠2≠∠3+∠4
但是，四边形AB'OC'中 ∠1+∠2=180°-∠B'OC'
三角形BCO中 ∠3+∠4=180°-∠BOC，且∠B'OC'=∠BOC
却得到 ∠1+∠2=∠3+∠4
这跟假设的相反，所以AA'只能垂直BC。
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