求一个有三角比的代数式的最小值(125-100sinα)/cosα其中α∈(0,π/2)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/07 11:31:13
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求一个有三角比的代数式的最小值(125-100sinα)/cosα其中α∈(0,π/2)
求一个有三角比的代数式的最小值
(125-100sinα)/cosα
其中α∈(0,π/2)
求一个有三角比的代数式的最小值(125-100sinα)/cosα其中α∈(0,π/2)
先化简:(125-100sinα)/cosα=25(5-4sinα)/cosα
设(5-4sinα)/cosα=k,则5-4sinα=k·cosα
因此k·cosα+4sinα=5
∴ 根号(k^2+16)·sin(α+β)=5,其中tanβ=k/4
因此有 根号(k^2+16)≥5
解之得 k≥3,细节过程略.
解:
令f(a)=(125-100sina)/cosa;
求导:f'(a)=[-100cosa*cosa+sina*(125-100sina)]/cosa^2=[-100(sina^2+cosa^2)+125sina]/cosa^2=(125sina-100)/cosa^2
当f'(a)=0时取的最小植,
所以:125sina-100=0
sina=4/5
代数式的最小值为:(125-100*4/5)/(3/5)=75
(125-100sina)/cosa=-100(1.25-sina)/(-cosa)
令k=(1.25-sina)/(0-cosa)
建立平面直角坐标系xoy,点A(cosa,sina)在第一象限的圆周上,点B(0,1.25)在在y轴上
k=(1.25-sina)/(0-cosa)即为直线AB的斜率
当AB与圆相切时,k有最大值
∵OB⊥AB
且O...
全部展开
(125-100sina)/cosa=-100(1.25-sina)/(-cosa)
令k=(1.25-sina)/(0-cosa)
建立平面直角坐标系xoy,点A(cosa,sina)在第一象限的圆周上,点B(0,1.25)在在y轴上
k=(1.25-sina)/(0-cosa)即为直线AB的斜率
当AB与圆相切时,k有最大值
∵OB⊥AB
且OB=1,OA=1.25
∴AB=0.75
k=-tan∠AOB=-0.75/1=-3/4
此时,-100k有最小值,-100×(-3/4)=75
收起
其实我觉得一楼的没有问题啊
三楼你说的那个问题不影响计算,我们可以忽略
只看k·cosα+4sinα=5
那么根号(k^2+16)>=5,这个是直接可以得到的,不需要什么beta
那么k>=3,
只要我们在后面验证出等号确实可以成立就行了
当sina=4/5 的时候k确实可以取3,那么
k的最小值就是3,
所以原式的最小值就是75...
全部展开
其实我觉得一楼的没有问题啊
三楼你说的那个问题不影响计算,我们可以忽略
只看k·cosα+4sinα=5
那么根号(k^2+16)>=5,这个是直接可以得到的,不需要什么beta
那么k>=3,
只要我们在后面验证出等号确实可以成立就行了
当sina=4/5 的时候k确实可以取3,那么
k的最小值就是3,
所以原式的最小值就是75
收起