设数列{an}的前 项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*(Ⅰ)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/09 00:45:42
设数列{an}的前 项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*(Ⅰ)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
设数列{an}的前 项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*
(Ⅰ)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
设数列{an}的前 项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*(Ⅰ)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
(1)an+1=Sn+3n
当n大于2时 sn-sn-1=an
an=Sn-1+3(n-1)
两等式相减an+1-an=sn-sn-1+3
an+1+3=2(an+3)
数列{an+3}是以a+3为首项2为公比的等比数列
an+3=(a+3)*2^n-1
Bn=Sn-3n=an+1-6n=(a+3)*2^n-6n-3
(2)an+1≥an an=(a+3)*2^n-1-3
an+1=(a+3)*2^n-3
所以2(a+3)>a+3
a>-3
:(Ⅰ)依题意,Sn 1-Sn=an 1=Sn 3n,即Sn 1=2Sn 3n,
由此得Sn 1-3n 1=2Sn 3n-3n 1=2(Sn-3n).(4分)
因此,所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.①(6分)
(Ⅱ)由①知Sn=3n (a-3)2n-1,n∈N*,
于是,当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=3n (a-3)×2n...
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:(Ⅰ)依题意,Sn 1-Sn=an 1=Sn 3n,即Sn 1=2Sn 3n,
由此得Sn 1-3n 1=2Sn 3n-3n 1=2(Sn-3n).(4分)
因此,所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.①(6分)
(Ⅱ)由①知Sn=3n (a-3)2n-1,n∈N*,
于是,当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=3n (a-3)×2n-1-3n-1-(a-3)×2n-2=2×3n-1 (a-3)2n-2,
an 1-an=4×3n-1 (a-3)2n-2=2n−2[12•(
3
2
)n−2 a−3],
当n≥2时,an 1≥an⇔12•(
3
2
)n−2 a−3≥0⇔a≥-9.
又a2=a1 3>a1.
综上,所求的a的取值范围是[-9, ∞).
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