已知数列{an}的前n项和Sn=1/2(n^2-n+2),数列bn的首项b1=1,且bn-b(n-1)=1/(2^(n-1)) (n≥2)求证存在自然数n0,对一切不小于n0的自然数n,恒有an>5bn

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 06:45:14
已知数列{an}的前n项和Sn=1/2(n^2-n+2),数列bn的首项b1=1,且bn-b(n-1)=1/(2^(n-1)) (n≥2)求证存在自然数n0,对一切不小于n0的自然数n,恒有an>5bn
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已知数列{an}的前n项和Sn=1/2(n^2-n+2),数列bn的首项b1=1,且bn-b(n-1)=1/(2^(n-1)) (n≥2)求证存在自然数n0,对一切不小于n0的自然数n,恒有an>5bn
已知数列{an}的前n项和Sn=1/2(n^2-n+2),数列bn的首项b1=1,且bn-b(n-1)=1/(2^(n-1)) (n≥2)
求证存在自然数n0,对一切不小于n0的自然数n,恒有an>5bn

已知数列{an}的前n项和Sn=1/2(n^2-n+2),数列bn的首项b1=1,且bn-b(n-1)=1/(2^(n-1)) (n≥2)求证存在自然数n0,对一切不小于n0的自然数n,恒有an>5bn
1.(求an)
Sn=(1/2)(n^2-n+2)
S(n-1)=(1/2)[(n-1)^2-n+3]
an=sn-s(n-1)
=(1/2)(n^2-n+2)-(1/2)[(n-1)^2-n+3]
=n-1
2.(求bn)
bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
b(n-1)-b(n-2)=1/2^(n-2)
用叠加法:
bn-b1=1/2^(n-1)+1/2^(n-2)+……+1/2^2+1/2
=(1/2)[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)
=1-1/2^(n-1)
bn=2-1/2^(n-1);
3.
an>5bn
n-1>5[2-1/2^(n-1)]=10-5/2^(n-1)
5>(11-n)2^(n-1)
当11-n≤0即n≥11时,不等式恒成立,
所以
存在自然数n0=11,对一切n0≥11的自然数n,恒有an>5bn.

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