作业帮二项式定理公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 15:30:34
二项式定理公式
二项式定理公式
二项式定理公式
二项式定理
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年期间提出。
该定理给出两个数之和的整数次幂的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
简介
编辑
二项式定理可以用以下公式表示：
其中，又有等记法，称为二项式系数，即取的组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形。[1]
2证明
编辑
全部展开
二项式定理
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年期间提出。
该定理给出两个数之和的整数次幂的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
简介
编辑
二项式定理可以用以下公式表示：
其中，又有等记法，称为二项式系数，即取的组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形。[1]
2证明
编辑
当，
考虑用数学归纳法，假设二项展开式在时成立。
设，则：
，将a、b<乘入：
，取出的项：
，设：
， 取出项：
，两者相加：
，套用帕斯卡法则：
3应用
编辑
牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。
证明组合恒等式
二项式定理给出的系数可以视为组合数的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。
比如证明，可以考虑恒等式。
展开等式左边得到：。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。
同时如果展开等式右边可以得到。
比较两边幂次为的项的系数可以得到：。
令，并注意到即可得到所要证明的结论。
4推广
编辑
该定理可以推广到对任意实数次幂的展开， 即所谓的牛顿广义二项式定理：
其中。
5牛顿二项式扩充定理
编辑
设函数：
根据二项式定理得F(x)的任意一项为：
同理上式（）中的任意一项为
如此类推我们预知最后一项存在;
那么我们得到其中
的任意一个系数为以上各式系数之积即为；
设M=0+j+....+q+p+m而且项的系数为AM
收起