矩阵A与B的行向量组等价的充分必要条件为什么是齐次方程组Ax=0与Bx=0同解最好能证明一下,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/02 06:32:58
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矩阵A与B的行向量组等价的充分必要条件为什么是齐次方程组Ax=0与Bx=0同解最好能证明一下,
矩阵A与B的行向量组等价的充分必要条件为什么是齐次方程组Ax=0与Bx=0同解
最好能证明一下,
矩阵A与B的行向量组等价的充分必要条件为什么是齐次方程组Ax=0与Bx=0同解最好能证明一下,
证:必要性
因为A与B的行向量组等价
所以A可经初等行变换化为B
所以存在可逆矩阵P,使得 PA=B
易知 AX=0 的解是 PAX=0 的解.
反之,PAX=0 的解 也是 P^-1PAX=0 即 AX=0 的解
所以 AX=0 与 PAX=0 同解
即 Ax=0与Bx=0同解.
充分性
由 Ax=0与Bx=0同解
知 A,B 的行简化梯矩阵相同
即存在可逆矩阵P,Q,使得 PA=QB
所以 Q^-1PA=B
所以 A与B的行向量组等价.
这个证明大概写一下
充分性
因为齐次方程组Ax=0与Bx=0同解
当两个方程有唯一解,那么解相等
且为0,所以A,B秩相同
所以A与B相抵,所以行向量等价
有无穷多解,且标准基础解基唯一,即存在解向量矩阵秩为n-r
所以r(A)=r(B),所以A,B相抵
必要性
矩阵A,B经过行初等变换可以化为行标准阶梯矩阵,且该矩阵唯一
全部展开
这个证明大概写一下
充分性
因为齐次方程组Ax=0与Bx=0同解
当两个方程有唯一解,那么解相等
且为0,所以A,B秩相同
所以A与B相抵,所以行向量等价
有无穷多解,且标准基础解基唯一,即存在解向量矩阵秩为n-r
所以r(A)=r(B),所以A,B相抵
必要性
矩阵A,B经过行初等变换可以化为行标准阶梯矩阵,且该矩阵唯一
而初等变换不改变方程组解,因为A,B行向量等价,所以r(A)=r(B)
因此A,B的行标准阶梯矩阵相同,且Ax=0与Bx=0标准基础解系唯一
所以齐次方程组Ax=0与Bx=0同解
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