高数题 ∫((√1+x)-1)/((√1+x)+1)dx
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/26 12:59:41
![高数题 ∫((√1+x)-1)/((√1+x)+1)dx](/uploads/image/z/5194446-6-6.jpg?t=%E9%AB%98%E6%95%B0%E9%A2%98+%E2%88%AB%28%28%E2%88%9A1%2Bx%29-1%29%2F%28%28%E2%88%9A1%2Bx%29%2B1%29dx)
高数题 ∫((√1+x)-1)/((√1+x)+1)dx
高数题 ∫((√1+x)-1)/((√1+x)+1)dx
高数题 ∫((√1+x)-1)/((√1+x)+1)dx
z² = 1 + x,2z dz = dx
∫ [√(1 + x) - 1]/[√(1 + x) + 1] dx
= ∫ (z - 1)/(z + 1) * (2z dz)
= 2∫ z[(z + 1) - 2]/(z + 1) dz
= 2∫ z dz - 4∫ [(z + 1) - 1]/(z + 1) dz
= z² - 4∫ dz + 4∫ dz/(z + 1)
= z² - 4z + 4ln|z + 1| + C'
= 1 + x - 4√(1 + x) + 4l1 + √(1 + x)| + C'
= x - 4√(1 + x) + 4ln|1 + √(1 + x)| + C
∫{[√(1+x)-1]/[√(1+x)+1]}dx
=∫{[√(1+x)-1]^2/[(1+x)-1]}dx
=∫{[1+x-2√(1+x)+1]/x}dx
=2∫(1/x)dx+∫xdx-2∫[√(1+x)/x]dx
=2ln|x|+(1/2)x^2-2∫[√(1+x)/x]dx。
令√(1+x)=u,则:x=u^2-1,∴dx=2udu。
∴∫...
全部展开
∫{[√(1+x)-1]/[√(1+x)+1]}dx
=∫{[√(1+x)-1]^2/[(1+x)-1]}dx
=∫{[1+x-2√(1+x)+1]/x}dx
=2∫(1/x)dx+∫xdx-2∫[√(1+x)/x]dx
=2ln|x|+(1/2)x^2-2∫[√(1+x)/x]dx。
令√(1+x)=u,则:x=u^2-1,∴dx=2udu。
∴∫[√(1+x)/x]dx
=∫[u/(u^2-1)](2u)du
=2∫[(u^2-1+1)/(u^2-1)]du
=2∫du+2∫[1/(u^2-1)]du
=2u+∫[(u+1-u+1)/(u^2-1)]du
=2√(1+x)+∫[1/(u-1)]du-∫[1/(u+1)]du
=2√(1+x)+ln|u-1|-ln|u+1|+C
=2√(1+x)+ln|√(1+x)-1|-ln|√(1+x)+1|+C。
∴∫{[√(1+x)-1]/[√(1+x)+1]}dx
=2ln|x|+(1/2)x^2-2[2√(1+x)+ln|√(1+x)-1|-ln|√(1+x)+1|+C]
=2ln|x|+(1/2)x^2-4√(1+x)+2ln|√(1+x)-1|-2ln|√(1+x)+1|+C。
收起