已知如图Rt△ABC∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E为AC中点,ED的延长线AB的延长线于F.求证AB×AF=AC×DF
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/24 17:42:55
已知如图Rt△ABC∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E为AC中点,ED的延长线AB的延长线于F.求证AB×AF=AC×DF
已知如图Rt△ABC∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E为AC中点,ED的延长线AB的延长线于F.求证AB×AF=AC×DF
已知如图Rt△ABC∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E为AC中点,ED的延长线AB的延长线于F.求证AB×AF=AC×DF
证明:过A作AM∥BC,交DF于M,
因为∠BAC=90°,AD⊥BC于D,
所以△ABD∽△CAD,
所以AB/AC=AD/CD,
因为E为AC中点,
所以△AEM≌△CED,
所以AM=CD,
所以AB/AC=AD/AM,
又DE是直角三角形斜边上的中线
所以AE=DE
所以∠FAM=∠B=∠DAE=∠ADE
∠F为公共角
所以△ADF∽△MAF
所以AD/AM=DF/AF,
所以AB/AC=DF/AF,
即AB×AF=AC×DF
证明:
∵AD是高
∴∠ADB=∠CAB=90º
又∵∠ABD=∠CBA【公共角】
∴⊿ADB∽⊿CAB(AA‘)
∴AC/AD=AB/BD=>AC/AB=AD/BD
∠BAD=∠C
∵E是AC的中点,∠ADC=90º
∴DE=½AC=CE
∴∠EDC=∠C
∴∠BDF=∠EDC=∠...
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证明:
∵AD是高
∴∠ADB=∠CAB=90º
又∵∠ABD=∠CBA【公共角】
∴⊿ADB∽⊿CAB(AA‘)
∴AC/AD=AB/BD=>AC/AB=AD/BD
∠BAD=∠C
∵E是AC的中点,∠ADC=90º
∴DE=½AC=CE
∴∠EDC=∠C
∴∠BDF=∠EDC=∠BAD
又∵∠AFD=∠DFB【公共角】
∴⊿AFD∽⊿DFB(AA’)
∴AD/DB=AF/DF
∴AC/AB=AF/DF
∴AB×AF=AC×DF
收起
因为E是AC的中点,AD⊥AC
所以DE=CE
所以∠EDC=∠ECD
所以∠BDF=∠ECD
因为AD⊥BC
所以∠DAC+∠ECD=90°
又因为∠DAC+∠BAD=90°,∠BDF=∠ECD
所以∠BDF=∠BAD
因为∠BDF=∠BAD,∠DFA=∠DFB
所以△BDF∽△DAF
所以BD/AD=DF/AF
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因为E是AC的中点,AD⊥AC
所以DE=CE
所以∠EDC=∠ECD
所以∠BDF=∠ECD
因为AD⊥BC
所以∠DAC+∠ECD=90°
又因为∠DAC+∠BAD=90°,∠BDF=∠ECD
所以∠BDF=∠BAD
因为∠BDF=∠BAD,∠DFA=∠DFB
所以△BDF∽△DAF
所以BD/AD=DF/AF
因为AD⊥BC
所以∠DAB+∠DBA=90°
又因为∠DAB+∠DAC=90°
所以∠DBA=∠DAC
因为AD⊥BC
所以∠ADC=∠ADB=90°
因为∠ADC=∠ADB,∠DBA=∠DAC
所以△ABD∽△CAD
所以AB/AC=BD/AD
因为BD/AD=DF/AF,AB/AC=BD/AD
所以DF/AF=AB/AC
所以AB×AF=AC×DF
收起