一道初三数学几何综合题在正方形ABCD内有一点P,PA+PB+PC的最小值为√2+√6,求正方形的边长

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 06:32:59
一道初三数学几何综合题在正方形ABCD内有一点P,PA+PB+PC的最小值为√2+√6,求正方形的边长
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一道初三数学几何综合题在正方形ABCD内有一点P,PA+PB+PC的最小值为√2+√6,求正方形的边长
一道初三数学几何综合题
在正方形ABCD内有一点P,PA+PB+PC的最小值为√2+√6,求正方形的边长

一道初三数学几何综合题在正方形ABCD内有一点P,PA+PB+PC的最小值为√2+√6,求正方形的边长
能够使PA+PB+PC最小的点P必位于△ABC的费马点上.
此时∠APB=∠CPB=∠BPA=120°
∵BC=BA,BP=BP,∠CPB=∠APB=120°是钝角
在这种特殊情况下,SSA全等判定可以成立.
∴△APB≌△CPB
∴BP平分∠ABC
设正方形边长为a
延长BP交AC于点O
AO=a*√2/2, AP=PC=AO*sec30°=a*√6/3
BP=OB-OP=OA-0.5*AP=a*√2/2-a*√6/6
那么AP+BP+CP=a*2√6/3+a*√2/2-a*√6/6=a*(√2+√6)/2=√2+√6
∴a=2
正方形边长为2.

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