如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r.(1)求证:BC*BD=r*ED;(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/10 15:58:08
![如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r.(1)求证:BC*BD=r*ED;(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.](/uploads/image/z/5273887-31-7.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2CRt%E2%96%B3BDE%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0BDE%3D90%C2%B0%2CBC%E5%B9%B3%E5%88%86%E2%88%A0DBE%E4%BA%A4DE%E4%BA%8E%E7%82%B9C%2CAC%E2%8A%A5CB%E4%BA%A4BE%E4%BA%8E%E7%82%B9A%2C%E2%96%B3ABC%E7%9A%84%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%9C%86%E7%9A%84%E5%8D%8A%E5%BE%84%E4%B8%BAr.%281%29%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ABC%2ABD%3Dr%2AED%EF%BC%9B%282%29%E8%8B%A5BD%3D3%2CDE%3D4%2C%E6%B1%82AE%E7%9A%84%E9%95%BF.)
如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r.(1)求证:BC*BD=r*ED;(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.
如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r.
(1)求证:BC*BD=r*ED;
(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.
如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r.(1)求证:BC*BD=r*ED;(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.
(1)、取AB中点O,三角形ABC是RT三角形,AB是斜边,O是外接圆心,
连结CO,
BO=CO,
〈BCO=〈OBC,
BC是〈DBE平分线,
〈DBC=〈CBA,
〈OCB=〈DBC,
OC//DB,(内错角相等),
OC/BD=CE/DE,
OC=r,
BD*CE=DE*r,(1)
作CF⊥BE,垂足F,
F、B、D、C四点共圆满,
〈FCE=〈DBA,(外角等于内对角),
CD=CF,(角平分线与角两边等距),
RT△BDC≌RT△ECF,
CE=BC,
代入(1)式,
∴BC*BD=r*ED,证毕.
(2)、BD=3,DE=4,
根据勾股定理,BE=5,
设CE=x,BC=CE=x,
BD^2+CD^2=BC^2,
3^2+(4-x)^2=x^2,
x=25/8,
CE=25/8,
由前所述,OC//BD,BD⊥DE,故OC⊥DE,
CE是圆O切线,
CE^2=AE*BE,(切割线定理),
AE=(25/8)^2/5=125/64.
∴AE=125/64.