设三角形ABC的周长为定值,求三角形的内切圆面积的最大值,并说明这时三角形ABC是怎样的三角形.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 09:33:10
![设三角形ABC的周长为定值,求三角形的内切圆面积的最大值,并说明这时三角形ABC是怎样的三角形.](/uploads/image/z/5356704-48-4.jpg?t=%E8%AE%BE%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E5%91%A8%E9%95%BF%E4%B8%BA%E5%AE%9A%E5%80%BC%2C%E6%B1%82%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%86%85%E5%88%87%E5%9C%86%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%2C%E5%B9%B6%E8%AF%B4%E6%98%8E%E8%BF%99%E6%97%B6%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E6%98%AF%E6%80%8E%E6%A0%B7%E7%9A%84%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2.)
设三角形ABC的周长为定值,求三角形的内切圆面积的最大值,并说明这时三角形ABC是怎样的三角形.
设三角形ABC的周长为定值,求三角形的内切圆面积的最大值,并说明这时三角形ABC是怎样的三角形.
设三角形ABC的周长为定值,求三角形的内切圆面积的最大值,并说明这时三角形ABC是怎样的三角形.
设△ABC,其中AB=c,AC=b,BC=a,a+b+c=2p(定值).
△ABC的内切圆圆心0是三条角平分线的交点,S△ABO=rc/2,S△ACO=rb/2,S△BCO=ra/2,S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO=r(a+b+c)/2=rp;根据海伦公式,S2△ABC=p(p-a)(p-b)(p-c),所以有r2p2=p(p-a)(p-b)(p-c),r2=(p-a)(p-b)(p-c)/p.
∵(p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-2p=p(定值);可以证明三个数和一定的时候,只有当它们分别相等的时候积最大.也就是说当r取最大值的时候存在p-a=p-b=p-c,即a=b=c=2p/3,此时△ABC是等边三角形:r2max=p2/27.内切圆面积S=πr2=πp2/27.
★另,关于三个正数x、y、z,x+y+z=C(定值)时,xyz=xy(C-x-y)=Cxy-x2y-xy2,可以将x看成主元,则xyz=-yx2-(y2-Cy)x是一个开口向下的抛物线,函数在对称轴上取得最大值,对称轴x=-b/2a=(Cy-y2)/2y=C/2-y/2;最大值M=(4ac-b2)/4a=(y2-Cy)2/4y,M的导函数M’=3y2/4-Cy+C2/4=0,分解因式有(y-C)(3y-C)=0;可解得y1=C(此时xyz=0,M取得最小值),y2=C/3(此时xyz=C3/27,M取最大值).所以,当y=C/3时,M有最大值,此时,x=-b/2a=(Cy-y2)/2y=C/2-y/2=C/2-C/6=C/3,z=C-x-y=C-C/3-C/3=C/3,即x=y=z=C/3时,其乘积最大
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最大面积:s*s/27 此时为正三角形; 当几个正数和一定时 要使积最大,当且仅当几个数相等