作业帮如图,已知正方形ABCD的边长为1,G为CD边上任意一点（点G与C、D不重合）,以CG为边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.若tan∠GBC=√2-1,求四边形CEHG的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 02:30:57
如图,已知正方形ABCD的边长为1,G为CD边上任意一点（点G与C、D不重合）,以CG为边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.若tan∠GBC=√2-1,求四边形CEHG的面积
如图,已知正方形ABCD的边长为1,G为CD边上任意一点（点G与C、D不重合）,以CG为边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.
若tan∠GBC=√2-1,求四边形CEHG的面积
如图,已知正方形ABCD的边长为1,G为CD边上任意一点（点G与C、D不重合）,以CG为边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.若tan∠GBC=√2-1,求四边形CEHG的面积
Soul﹏P：
连接GE
∵四边形ABCD是正方形
∴BC＝CD,∠BCD＝90°
∵四边形GCEF是正方形
∴GC＝CE,∠DCE＝90°
∴∠BCD＝∠DCE
∴△BCG≌△DCE(SAS)
∴∠CBG＝∠CDE
∵∠CDE＋∠CED＝90°
∴∠CBG＋∠CED＝90°
∴∠BHE＝90°
∴BH⊥DE
∵tan∠GBC＝√2－1,BC＝CD＝1
∴GC＝BC×tan∠GBC＝√2－1＝CE
∴DG＝DC－GC＝1－(√2－1)＝2－√2
∵在Rt△GCE中,GE²＝GC²＋CE²＝(√2－1)²＋(√2－1)²＝6－4√2
而DG²＝(2－√2)²＝6－4√2
∴GE²＝DG²
∴GE＝DG
∴DH＝HE(等腰三角形中,三线合一)
∴S△GHE＝1/2S△DGE
∴S四边形CEHG
＝SRt△GCE＋SRt△GHE
＝1/2×CG×CE＋1/2S△DGE
＝1/2×CG×CE＋1/2×(1/2×DG×CE)
＝1/2×(√2－1)(√2－1)＋1/2×1/2×(2－√2)×(√2－1)
＝3/2－√2＋(3√2/4)－1
＝1/2－√2/4