如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K．（1）观察：①如图2、图3,当∠CDF=0°或60°时,AM+CK...MK（填“＞”,“＜”或“=”）；②如图4,

如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K．（1）观察：①如图2、图3,当∠CDF=0°或60°时,AM+CK...MK（填“＞”,“＜”或“=”）；②如图4,
如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K．
（1）观察：①如图2、图3,当∠CDF=0°或60°时,AM+CK...MK（填“＞”,“＜”或“=”）；
②如图4,当∠CDF=30°时,AM+CK...MK（只填“＞”或“＜”）；
（2）猜想：如图1,当0°＜∠CDF＜60°时,AM+CK...MK,证明你所得到的结论；
（3）如果MK2+CK2=AM2,请直接写出∠CDF的度数和 MK/AM的值．

如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K．（1）观察：①如图2、图3,当∠CDF=0°或60°时,AM+CK...MK（填“＞”,“＜”或“=”）；②如图4,
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分析：（1）先证明△CDA是等腰三角形,再根据等腰三角形的性质证明AM+CK=MK；在△MKD中,AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）；
（2）作点C关于FD的对称点G,连接GK,GM,GD．证明△ADM≌△GDM后,根据全等三角形的性质,GM=AM,GM+GK＞MK,∴AM+CK＞MK；
（3）根据勾股定理的逆定理求得∠GKM=90°,又∵点C关于FD的对称点G,∴＜CKG=90°,＜FKC= 12＜CKG=45°,根据三角形的外角定理,就可以求得∠CDF=15°；在Rt△GKM中,∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°,∴∠GMK=30°,利用余弦定理解得 MKAM= 32．（2分）
（1）①在Rt△ABC中,D是AB的中点,
∴AD=BD=AD= 12AB,∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°,
∴∠ACD=60°-30°=30°,
又∵∠CDE=60°,或∠CDF=60°时,
∴∠CKD=90°,
∴在△CDA中,AM（K）=CM（K）,即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合）,
∵CK=0,或AM=0,
∴AM+CK=MK；（2分）
②由①,得
∠ACD=30°,∠CDB=60°,
又∵∠A=30°,∠CDF=30,∠EDF=60°,
∴∠ADM=30°,
∴AM=MD,CK=KD,
∴AM+CK=MD+KD,
∴在△MKD中,AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）．（2分）
（2）＞（2分）
证明：作点C关于FD的对称点G,
连接GK,GM,GD,
则CD=GD,GK=CK,∠GDK=∠CDK,
∵D是AB的中点,∴AD=CD=GD、
∵∠A=30°,∴∠CDA=120°,
∵∠EDF=60°,∴∠GDM+∠GDK=60°,
∠ADM+∠CDK=60°．
∴∠ADM=∠GDM,（3分）
∵DM=DM,
∴△ADM≌△GDM,∴GM=AM．
∵GM+GK＞MK,∴AM+CK＞MK．（1分）
由（2）,得GM=AM,GK=CK,
∵MK2+CK2=AM2,
∴MK2+GK2=GM2,
∴∠GKM=90°,
又∵点C关于FD的对称点G,
∴＜CKG=90°,∠FKC= 12∠CKG=45°,
又有（1）,得∠A=∠ACD=30°,
∴＜FKC=∠CDF+∠ACD,
∴∠CDF=＜FKC-+∠ACD=15°,
在Rt△GKM中,∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°,
∴∠GMK=30°,
∴ MKGM= 32,
∴ MKAM= 32．（2分）点评：本题综合考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、轴对称图形的性质以及三角形的两边之和大于第三边的性质．答题：nhx600老师；审题：Linaliu老师．

（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK = MK（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK ＞ MK（只填“＞”或“＜”）；
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK ＞ MK，证明你所得到的结论；
析：（1）先证明△CDA是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质证明AM+CK...

全部展开

（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK = MK（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK ＞ MK（只填“＞”或“＜”）；
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK ＞ MK，证明你所得到的结论；
析：（1）先证明△CDA是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质证明AM+CK=MK；在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）；
（2）作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD．证明△ADM≌△GDM后，根据全等三角形的性质，GM=AM，GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK；
（3）根据勾股定理的逆定理求得∠GKM=90°，又∵点C关于FD的对称点G，∴＜CKG=90°，＜FKC= 1/2＜CKG=45°，根据三角形的外角定理，就可以求得∠CDF=15°；在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，∴∠GMK=30°，利用余弦定理解得 MK/AM=根号3/2 ．
（1）①在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=BD=AD=1/2AB ，∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°-30°=30°，
又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时，
∴∠CKD=90°，
∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），
∵CK=0，或AM=0，
∴AM+CK=MK；
②由①，得
∠ACD=30°，∠CDB=60°，
又∵∠A=30°，∠CDF=30，∠EDF=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=MD，CK=KD，
∴AM+CK=MD+KD，
∴在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）．
（2）＞
证明：作点C关于FD的对称点G，
连接GK，GM，GD，
则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD、
∵∠A=30°，∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK=60°．
∴∠ADM=∠GDM，
∵DM=DM，
∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．
∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．
（3）由（2），得GM=AM，GK=CK，
∵MK2+CK2=AM2，
∴MK2+GK2=GM2，
∴∠GKM=90°，
又∵点C关于FD的对称点G，
∴＜CKG=90°，∠FKC= 1/2∠CKG=45°，
又有（1），得∠A=∠ACD=30°，
∴＜FKC=∠CDF+∠ACD，
∴∠CDF=＜FKC-+∠ACD=15°，
在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，
∴∠GMK=30°，
∴MK/GM =根号3/2 ，
∴ MK/AM=根号3/2 ．

收起