x.y∈R,求证│x+y│=│x│+│y│成立的充要条件是xy≥0

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/05 14:11:01
x.y∈R,求证│x+y│=│x│+│y│成立的充要条件是xy≥0
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x.y∈R,求证│x+y│=│x│+│y│成立的充要条件是xy≥0
x.y∈R,求证│x+y│=│x│+│y│成立的充要条件是xy≥0

x.y∈R,求证│x+y│=│x│+│y│成立的充要条件是xy≥0
充分性
xy≥0等价与x≥0,y≥0或x≤0,y≤0;
x≥0,y≥0时,│x+y│=│x│+│y│
x≤0,y≤0时,│x+y│=|-│x│-│y│|=|x|+|y|
必要性
若│x+y│=│x│+│y│
则x≥0,y≥0或x≤0,y≤0;所以xy≥0.
其实这没啥好证的,就一个分类讨论.

1,
│x+y│=│x│+│y│
两边平方
x^2+2xy+y^2=x^2+y^2+2│x│*│y│
xy=│x│*│y│
xy=│x*y│
xy≥0
整个推理过程都是可逆的,所以再反着写一遍就可以了