已知正四棱锥S-ABCD中,SA=2倍根号3棱锥的体积最大时,高为
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 17:32:51
已知正四棱锥S-ABCD中,SA=2倍根号3棱锥的体积最大时,高为
已知正四棱锥S-ABCD中,SA=2倍根号3棱锥的体积最大时,高为
已知正四棱锥S-ABCD中,SA=2倍根号3棱锥的体积最大时,高为
设底正方形边长为2x,正四棱锥高为SH,H为底正方形对角线交点,
则对角线为2√2x,AH=√2x,
SH=√(SA^3-AH^2)=√(12-2x^2),
S正方形ABCD=4x^2,
VS-ABCD=[4x^2√(12-2x^2)]/3,
为求出函数极值,对函数求一阶导数,令其为0,求出驻点,
V'(x)=(8x/3)√(12-2x^2)+4x^2*(1/2)(12-2x^2)^(-1/2)(-4x)/3
=(8x/3)√(12-2x^2)-8x^3/√(12-2x^2)
=0,
x=±2,舍去负值,x=2,
当x<2时,V'(x)>0,而当x>2时,V'(x)<0,
故当x=2时有极大值,
底边长为4,AH=2√2,
高SH=√(12-8)=2.
当高为2时体积最大,为32/3.
令正方形的边长为a,则四菱椎的高h=√[SA??-(√2a/2)??]=√(12-a??/2)……(0<a<2√6)
四棱椎的面积S=(1/3)a??*h=(1/3)a??√(12-a??/2)=(√2/6)a??√(24-a??)=(√2/6)a√a??(24-a??)≥(√2/6)a*(a??+24-a??)/2=2√2a
当a??=24-a??,即a=2√3时,S取最大值。<...
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令正方形的边长为a,则四菱椎的高h=√[SA??-(√2a/2)??]=√(12-a??/2)……(0<a<2√6)
四棱椎的面积S=(1/3)a??*h=(1/3)a??√(12-a??/2)=(√2/6)a??√(24-a??)=(√2/6)a√a??(24-a??)≥(√2/6)a*(a??+24-a??)/2=2√2a
当a??=24-a??,即a=2√3时,S取最大值。
此时四菱椎的高h=√(12-a??/2)=√6
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