作业帮求证(a^2+bc)/a(b+c)+(b^2+ac)/b(a+c)+(c^2+ab)/c(a+b)≥3a、b、c都为正数,求证上不等式成立
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 08:32:22
求证(a^2+bc)/a(b+c)+(b^2+ac)/b(a+c)+(c^2+ab)/c(a+b)≥3a、b、c都为正数,求证上不等式成立
求证(a^2+bc)/a(b+c)+(b^2+ac)/b(a+c)+(c^2+ab)/c(a+b)≥3
a、b、c都为正数,求证上不等式成立
求证(a^2+bc)/a(b+c)+(b^2+ac)/b(a+c)+(c^2+ab)/c(a+b)≥3a、b、c都为正数,求证上不等式成立
可以分成两个不等式来证:
a²/(a(b+c))+b²/(b(c+a))+c²/(c(a+b)) = a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) ≥ 3/2.
与bc/(a(b+c))+ca/(b(c+a))+ab/(c(a+b)) = bc/(ca+ab)+ca/(ab+bc)+ab/(bc+ca) ≥ 3/2.
注意到第二个不等式若换元x = bc, y = ca, z = ab, 则变为x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y) ≥ 3/2.
因此只需证明第一个不等式.
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)
= (a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)+(a+b+c)/(a+b)-3
= (a+b+c)(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b))-3
= 1/2·((b+c)+(c+a)+(a+b))(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b))-3
≥ 1/2·(1+1+1)²-3 (Cauchy不等式)
= 3/2.
同意newater__的答案。下面从另一个角度给出证明。
［证明］
不失一般性，设a≧b≧c，则：a＋b≧a＋c≧b＋c，∴1/（b＋c）≧1/（a＋c）≧1/（a＋b）。
由排序不等式：同序和≧乱序和，有：
a/（b＋c）＋b/（a＋c）＋c/（a＋b）≧b/（b＋c）＋c/（a＋c）＋a/（a＋b）······①
a/（b＋c）＋b/（a＋c）＋c/（a...
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同意newater__的答案。下面从另一个角度给出证明。
［证明］
不失一般性，设a≧b≧c，则：a＋b≧a＋c≧b＋c，∴1/（b＋c）≧1/（a＋c）≧1/（a＋b）。
由排序不等式：同序和≧乱序和，有：
a/（b＋c）＋b/（a＋c）＋c/（a＋b）≧b/（b＋c）＋c/（a＋c）＋a/（a＋b）······①
a/（b＋c）＋b/（a＋c）＋c/（a＋b）≧c/（b＋c）＋a/（a＋c）＋b/（a＋b）······②
①＋②，得：2［a/（b＋c）＋b/（a＋c）＋c/（a＋b）］≧3，
∴a/（b＋c）＋b/（a＋c）＋c/（a＋b）≧3/2，又a、b、c都是正数，
∴a^2/［a（b＋c）］＋b^2/［b（a＋c）］＋c^2/［c（a＋b）］≧3/2······③
由a≧b≧c，得：ab≧ac≧bc，∴ab＋ac≧ab＋bc≧ac＋bc，
∴1/［c（a＋b）］≧1/［b（a＋c）］≧1/［a（b＋c）］。
由排序不等式：同序和≧乱序和，有：
ab/［c（a＋b）］＋ac/［b（a＋c）］＋bc/［a（b＋c）］
≧ac/［c（a＋b）］＋bc/［b（a＋c）］＋ab/［a（b＋c）］······④
ab/［c（a＋b）］＋ac/［b（a＋c）］＋bc/［a（b＋c）］
≧bc/［c（a＋b）］＋ab/［b（a＋c）］＋ac/［a（b＋c）］······⑤
④＋⑤，得：2｛ab/［c（a＋b）］＋ac/［b（a＋c）］＋bc/［a（b＋c）］｝≧3，
∴ab/［c（a＋b）］＋ac/［b（a＋c）］＋bc/［a（b＋c）］≧3/2······⑥
③＋⑥，得：
（a^2＋bc）/［a（b＋c）］＋（b^2＋ac）/［b（a＋c）］＋（c^2＋ab）/［c（a＋b）］≧3。
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