若m,n为正整数,m>n>=1.且4^m+4^n为100的倍数,求m+n的最小值.m大于n大于等于1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/18 03:24:17
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若m,n为正整数,m>n>=1.且4^m+4^n为100的倍数,求m+n的最小值.m大于n大于等于1
若m,n为正整数,m>n>=1.且4^m+4^n为100的倍数,求m+n的最小值.
m大于n大于等于1
若m,n为正整数,m>n>=1.且4^m+4^n为100的倍数,求m+n的最小值.m大于n大于等于1
由题得
4^m+4^n=100k(k为一个正整数,设的.只是为了说明4^m+4^n是100的倍数)
==> 4^n[4^(m-n)+1]=4*25k
因为 4^n尾数只能是4或6所以不能是25的倍数.
==> 4^(m-n)+1=25g(g为一个正整数,设的.只是为了说明4^(m-n)+1是25
的倍数)
令x=m-n
==> 4^x+1=25g
由4的X次幂的性质 :
X为奇数 幂的末位为4
X为偶数 幂的末位为6
==> x只能是奇数
将4^x+1分解
4^x+1=(4+1)[4^(x-1)-4^(x-2)+……+16-4+1]=25g
==> 4^(x-1)-4^(x-2)+……+16-4+1=5g 即是5的倍数
对于5的倍数我们知道末位为0或5
由于4^(x-1)-4^(x-2)+……+16-4是全偶数加减 结果为偶数
==> 4^(x-1)-4^(x-2)+……+16-4+1为奇,且末位为5
因为x为奇数
==> 4^(x-1)末位为6,4^(x-2)末位为4
所有加的项末位都是6(除了最后的1),减项末位都是4
==> 把一加一减2项作为一个整体 其结果的末位为2
因为4^(x-1)-4^(x-2)+……+16-4+1末位为5
==> 需要5a+2个上述整体 (a为非负整数),最少为2个
==> 最小x=5 即最小m-n=5
因为m+n=(m-n)+2n
==> 最小m+n存在于m-n和2n均为最小的时候
因为n>=1 即最小n=1
==> 最小m+n=7