有关柯西积分定理证明无界区域上的Cauchy积分定理设f(z)在简单闭曲线C及C的外部除去∞点外全纯,且当z趋于∞时,zf(z)趋于A,A为有限数.则∮f(z)dz=A(2πi)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 07:52:49
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有关柯西积分定理证明无界区域上的Cauchy积分定理设f(z)在简单闭曲线C及C的外部除去∞点外全纯,且当z趋于∞时,zf(z)趋于A,A为有限数.则∮f(z)dz=A(2πi)
有关柯西积分定理
证明无界区域上的Cauchy积分定理
设f(z)在简单闭曲线C及C的外部除去∞点外全纯,且当z趋于∞时,zf(z)趋于A,A为有限数.则
∮f(z)dz=A(2πi)
有关柯西积分定理证明无界区域上的Cauchy积分定理设f(z)在简单闭曲线C及C的外部除去∞点外全纯,且当z趋于∞时,zf(z)趋于A,A为有限数.则∮f(z)dz=A(2πi)
不知道能否用留数来证明?试着做一下.
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由留数定理及∞点留数性质及已知:
∮f(z)dz= -2 * pi * i * Res[f(z),∞]
而 Res[f(z),∞]=-c{-1}=-Res[f(1/z)1/(z^2),0]
其中c{-1}为 f(z)的洛朗展式中1/z的系数.
由 lim z趋于∞ zf(z)=lim z趋0 f(1/z)1/z=A ,A有限,
则z=0为f(1/z)1/z的可去奇点.
0为f(1/z)1/(z^2)的一阶极点.
Res[f(1/z)1/(z^2),0]=lim z趋0 f(1/z)1/(z^2) *z
=lim z趋0 f(1/z)1/z=lim z趋∞ zf(z)=A
所以Res[f(z),∞]=-A
∮f(z)dz= 2* pi* i * A
有关柯西积分定理证明无界区域上的Cauchy积分定理设f(z)在简单闭曲线C及C的外部除去∞点外全纯,且当z趋于∞时,zf(z)趋于A,A为有限数.则∮f(z)dz=A(2πi)
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