作业帮证明2011能整除2012的2012次方—2010的2010次方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/18 15:15:35
证明2011能整除2012的2012次方—2010的2010次方
证明2011能整除2012的2012次方—2010的2010次方
证明2011能整除2012的2012次方—2010的2010次方
2012^2012 - 2010^2010
=(2011+1)^2012 - (2011-1)^2010
把两项分别用二项式展开,
其中(2011+1)^2012 =2011^2012+2012*2011^2011*1+…+2012*2011+1
(2011-1)^2010=2011^2010-2010*2011^2009+…-2010*2011+1
两式相减后,最末项“+1”消掉,其余的项中均有因数2011,所以结果仍能被2011整除,
所以2012^2012 - 2010^2010 能被2011整除
这是一个同余的问题。
我们只要证明：2012^2012 对2011取模的结果等于2010^2010 对2011取模的结果
易有 2012=1 (mod 2011) 因此 2012^2012=1^2012=1 (mod 2011)
同样的 2010=-1 (mod 2011) =>2010^2010=(-1)^2010=1 (mod 2011)
因此：2012^201...
全部展开
这是一个同余的问题。
我们只要证明：2012^2012 对2011取模的结果等于2010^2010 对2011取模的结果
易有 2012=1 (mod 2011) 因此 2012^2012=1^2012=1 (mod 2011)
同样的 2010=-1 (mod 2011) =>2010^2010=(-1)^2010=1 (mod 2011)
因此：2012^2012-2010^2010=1-1=0 (mod 2011)
于是得证。
如果觉得我的回答能对你有所帮助，就请采纳我一下吧~ ^-^ 谢谢。
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