一道关于曲线和方程的题目已知二次函数x^2-ax+b=0的两根分别为sinβ和cosβ,其中|β|≤π/4,求 P(a,b)的轨迹方程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 14:37:01
![一道关于曲线和方程的题目已知二次函数x^2-ax+b=0的两根分别为sinβ和cosβ,其中|β|≤π/4,求 P(a,b)的轨迹方程.](/uploads/image/z/6111984-48-4.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E5%85%B3%E4%BA%8E%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E5%92%8C%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E9%A2%98%E7%9B%AE%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0x%5E2-ax%2Bb%3D0%E7%9A%84%E4%B8%A4%E6%A0%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAsin%CE%B2%E5%92%8Ccos%CE%B2%2C%E5%85%B6%E4%B8%AD%7C%CE%B2%7C%E2%89%A4%CF%80%2F4%2C%E6%B1%82+P%EF%BC%88a%2Cb%29%E7%9A%84%E8%BD%A8%E8%BF%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B.)
一道关于曲线和方程的题目已知二次函数x^2-ax+b=0的两根分别为sinβ和cosβ,其中|β|≤π/4,求 P(a,b)的轨迹方程.
一道关于曲线和方程的题目
已知二次函数x^2-ax+b=0的两根分别为sinβ和cosβ,其中|β|≤π/4,求 P(a,b)的轨迹方程.
一道关于曲线和方程的题目已知二次函数x^2-ax+b=0的两根分别为sinβ和cosβ,其中|β|≤π/4,求 P(a,b)的轨迹方程.
根据韦达定理解题目
sinβ + cosβ = a
sinβ * cosβ = b
第一个式子平方
1 + 2 sinβ * cosβ = a^2
所以
1 + 2b = a^2
b = (a^2 -1)/2
在求定义域
sinβ + cosβ = a
√2 (sinβcos45 + cosβsin45) = a
√2 sin(β + π/4) = a
|β|≤π/4
0 ≤β + π/4 ≤ π/2
sin(β + π/4) ∈ [0,1]
a ∈ [0,√2]
因此 P(a,b)的轨迹方程
b = (a^2 - 1)/2
其中 a ∈ [0,√2]
此轨迹为 抛物线的 一部分
根据条件sinβ,cosβ是方程x^2-ax+b=0的两根(两个根,有可能相同,有可能相异),则判别式 ⊿ =(-a)^2 - 4*b ≥ 0
sinβ^2 + cosβ^2 = 1 ;
(sinβ + cosβ)^2 - 2*sinβ*cosβ = 1,根据韦达定理将两根和两根积代入可以得到另一个关系)
求得 a^2 - 4*b ≥ 0 和 a^2 -2*b - 1 ...
全部展开
根据条件sinβ,cosβ是方程x^2-ax+b=0的两根(两个根,有可能相同,有可能相异),则判别式 ⊿ =(-a)^2 - 4*b ≥ 0
sinβ^2 + cosβ^2 = 1 ;
(sinβ + cosβ)^2 - 2*sinβ*cosβ = 1,根据韦达定理将两根和两根积代入可以得到另一个关系)
求得 a^2 - 4*b ≥ 0 和 a^2 -2*b - 1 = 0;
通过a^2 - 4*b = 0 和 a^2 -2*b - 1 = 0 求交点,得出轨迹为 a^2 -2*b - 1 = 0 (-根2,+根2)之间的一段抛物线弧。
收起
-a=sinβ+cosβ..............(1)
b=sinβ*cosβ................(2)
(1)式两边平方得a^2=1+2sinβ*cosβ=1+2b
故P点的轨迹方程为a^2=1+2b
又因为|β|≤π/4,所以-a=sinβ+cosβ>=0
所以a=<0
故P点的轨迹方程为a^2=1+2b (a=<0)
由韦达定理知
sinβ+cosβ=a
sinβcosβ=b
而1=(sinβ)^2+(cosβ)^2=(sinβ+cosβ)^2-2sinβcosβ=a^2-2b
即b=1/2(a^2-1)
由|β|≤π/4知
a=sinβ+cosβ=sprt(2)sin(β+π/4) sprt(x)是x的算术平方根
a的取值范围是[0,sprt(2)]
综上
轨迹为b=1/2(a^2-1),a取[0,sprt(2)]
韦达定理解
sinβ + cosβ = a
sinβ * cosβ = b
得到满足的条件下,
判别式 ⊿ =(-a)^2 - 4*b ≥ 0 自然就会满足,不需要去考证