将7个相同大小的小球放入4个不同的箱子中（1)若箱子不空,有多少种放法?（2）若允许有空箱,有多少种放法?应该怎么分析啊?答案是（1）20种 (2)120种

将7个相同大小的小球放入4个不同的箱子中（1)若箱子不空,有多少种放法?（2）若允许有空箱,有多少种放法?应该怎么分析啊?答案是（1）20种 (2)120种
将7个相同大小的小球放入4个不同的箱子中
（1)若箱子不空,有多少种放法?
（2）若允许有空箱,有多少种放法?
应该怎么分析啊?
答案是（1）20种 (2)120种

将7个相同大小的小球放入4个不同的箱子中（1)若箱子不空,有多少种放法?（2）若允许有空箱,有多少种放法?应该怎么分析啊?答案是（1）20种 (2)120种
(1)
用插棍法.7个球如下,4个箱子由3根棍子分开
例：O | O | O O | O O O
因为箱子不空,所以棍子一共有7-1=6个位置可以插.
C(3,6)=6*5*4/(3*2*1)=20（种）
(2)
还是用插棍法
因为允许有空箱子,所以每根棍子和每个箱子各占一个位置.
例：O | O O O || O O O
则：箱子加棍子一共有10个位置,棍子从中任选3个.
C(3,10)=10*9*8/(3*2*1)=120（种）
-----------------
插棍法是排列组合问题的一种很重要的技巧性方法,上述两个问题刚好含盖了插棍法的2种类型.
插棍法是把排列组合问题转化为球和棍子的问题.
两棍之间球的个数就是箱子内球的个数,所以棍子数是箱子数减1.
棍子占不占位置的关键就在于能否空箱,能就占位,不能就不占位.
除了往箱子放小球外,一般还有一类问题也是这么做的：
x和y为正整数,x+y=10,求解的组数.
10就相当于10个小球,x和y相当于两个箱子.用哪种插棍法的关键就在于x和y是自然数还是正整数.
其他的用插棍法的题目一般都会和上述的两种题目类似的了.
一定要掌握啊!

（1）相当于求x+y+z+w=7的正整数解 用插缝法
C36=20种（7个球6个缝）
（2）相当于求x+y+z+w=7的非负整数解
转化为求求x¹+y¹+z¹+w¹=11的正整数解
同理即有C310=120
奖励我吧

2答案为：4的7次方。允许有空，则每个球都有四种选法。
4
1答案为：A7 * 4的三次方。 每个箱子都需要有球，则先拿出四颗随意分别放入四个箱子中，剩余的三颗球则在四个箱子中随意放

设x1,x2,x3,x4是4个箱子放的球的个数
x1+x2+x3+x4=7
第一问求的是所有正整数解个数
第二问求的是所有非负整数解个数
根据插空法
第一问答案为C（6,3）
第二问答案为C（10,3）
好像答案就是这样的
如果你不懂怎么解的可以再问我

先让4个进箱子有4!种
再让3个进箱子，每个球有4种选择则有4^3种。总共有4!×4^3种。

高手来了。。。
咋一看，他们都会。。
那我就跟你说一说思路吧~~
(1)要箱子不空，那么每个箱子都要有球。可是一共有7个球，那么我们就要把7个球分成4份，想象一下把七个球排成一排，然后用三个板把球隔开，这样就可以分成4份了。因为7个球有6个空，要分成4份只要3个板。
所以答案就是C(6,3)=20种。
(2)如果允许箱子是空的，跟(1)有点像。如果我们事先在...

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高手来了。。。
咋一看，他们都会。。
那我就跟你说一说思路吧~~
(1)要箱子不空，那么每个箱子都要有球。可是一共有7个球，那么我们就要把7个球分成4份，想象一下把七个球排成一排，然后用三个板把球隔开，这样就可以分成4份了。因为7个球有6个空，要分成4份只要3个板。
所以答案就是C(6,3)=20种。
(2)如果允许箱子是空的，跟(1)有点像。如果我们事先在每个箱子里面都放一个球，那么无论你剩下的球怎么分，都可以满足题目的意思。
现在的意思是说，用7个球发到4个箱子中（箱子里面有球）但是允许有空位。
如果我们把4个球拿起来，发到4个箱子里面，不过不允许有空位，题目就跟（1）一摸一样了，根据（1）答案应该是C（10，3）=120

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（1），先各放一个，还剩三个球，分别放在四个箱子里，
有：a，放在三个箱子里，C4（3）=4种情况
b,放在两个箱子里，有C4（2）*2=12种情况
c，放在一个箱子里，有C4（1)种情况。
共20种。
（2），有一个空箱子，C4（1）*【C3(1)+C3(1）*3+C3（1）】=60种

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（1），先各放一个，还剩三个球，分别放在四个箱子里，
有：a，放在三个箱子里，C4（3）=4种情况
b,放在两个箱子里，有C4（2）*2=12种情况
c，放在一个箱子里，有C4（1)种情况。
共20种。
（2），有一个空箱子，C4（1）*【C3(1)+C3(1）*3+C3（1）】=60种
有两个空箱子，C4（2）*6=36种
有三个空箱子，C4（1）=4种
没空箱子，如第一问，20种
所以 共120种
（因为排列的公式我不会打出来，所以 那括号里的表示在前一个数字的上面的那个，你应该看得懂的。。顺便祝你高考顺利。。）

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1.不空，那么就先每个箱子放一个。也就是每个都放一个，由于大小相同，所以只存在个数差异。七个减掉四个剩下三个。现在要考虑的问题是，有三个球放入四个不同箱子有几种放法。
一个箱子空：有四种放法，（任意选一箱子留空，因为箱子不同，所以有四种）
两个箱子空：先两个箱子空，有C42=6种，然后在小球方面三个分成两组，有两个加一个这样的组合。而这个组合是不同的，所以这里一共有6*2=12种<...

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1.不空，那么就先每个箱子放一个。也就是每个都放一个，由于大小相同，所以只存在个数差异。七个减掉四个剩下三个。现在要考虑的问题是，有三个球放入四个不同箱子有几种放法。
一个箱子空：有四种放法，（任意选一箱子留空，因为箱子不同，所以有四种）
两个箱子空：先两个箱子空，有C42=6种，然后在小球方面三个分成两组，有两个加一个这样的组合。而这个组合是不同的，所以这里一共有6*2=12种
三个箱子空：这种情况下，三个小球一同放入同一箱子，由于箱子不同，所以一共有四种
故4+12+4=20
2.同样的，分类讨论
最简单的情况。只有一个箱子有球。那么有C41=4种
两个箱子有球。先计算箱子，C42=6种。球方面有
（1，6）；（2，5）；（3，4）这三个组合，所以一共有6*3*2=36种。
三个箱子有球，这是最复杂的一种情况了。
三个都有球，那么先选择一个空的箱子有C41=4种选法。于是问题可以转化成将7个相同的小球放入3个不同的箱子，箱子不空有几种放法。
采用第一步的方法进行讨论。
先取三小球，每个箱子放一个。剩下的四个，随意放到三个箱子里一共几种放法。
这里又要讨论了，如果三个箱子都有球，那么一共有3种放法，一个放两个，其他两个箱子各放一个。
如果两个有球，那么球的分组有1，3；3，1；2，2；三种分法。故有C32*3=9种
如果只有一个有球，那么球的分组就是003，030，300，三种分法。
所以三个都有球的情况一共有4*（3+9+3）=60种
第四种情况就是第一步的结果，也就是20种，
所以一共是4+36+60+20=120种。

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