1.数列{an}满足a1+a2+……+an=[4-(-2)^n]/3,n∈N*,则1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21=2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=S(n-1)+2(n>=2),a1=2证明数列{an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/28 12:03:41
![1.数列{an}满足a1+a2+……+an=[4-(-2)^n]/3,n∈N*,则1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21=2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=S(n-1)+2(n>=2),a1=2证明数列{an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式](/uploads/image/z/62879-23-9.jpg?t=1.%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E6%BB%A1%E8%B6%B3a1%2Ba2%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ban%3D%5B4-%28-2%29%5En%5D%2F3%2Cn%E2%88%88N%2A%2C%E5%88%991%2Fa1%2B1%2Fa3%2B1%2Fa5%2B%E2%80%A6%E2%80%A61%2Fa21%3D2.%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8C%E4%B8%BASn%2C%E4%B8%94an%3DS%28n-1%29%2B2%28n%3E%3D2%29%2Ca1%3D2%E8%AF%81%E6%98%8E%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E6%98%AF%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F)
1.数列{an}满足a1+a2+……+an=[4-(-2)^n]/3,n∈N*,则1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21=2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=S(n-1)+2(n>=2),a1=2证明数列{an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式
1.数列{an}满足a1+a2+……+an=[4-(-2)^n]/3,n∈N*,则1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21=
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=S(n-1)+2(n>=2),a1=2证明数列{an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式
1.数列{an}满足a1+a2+……+an=[4-(-2)^n]/3,n∈N*,则1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21=2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=S(n-1)+2(n>=2),a1=2证明数列{an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式
1,依题意有:a1=2,1/a1=1/2
设数列{an}前n项和为Sn,依题意有:Sn=[4-(-2)^n]/3……(1)
故当n大于等于2时,有:S(n-1)=[4-(-2)^(n-1)]/3……(2)
又Sn-S(n-1)=an
所以(1)-(2)得:
an=(-2)^(n-1) (n大于等于2)
即:1/an=(-2)^(1-n) (n大于等于2)
设:1/a3,1/a5,……,1/a21为一组新数列{bn}
bn=a(2n+1)=(-2)^(-2n)=2^(-2n)=(1/4)^n
可知数列{bn}为首项为1/4,公比为1/4的等比数列,根据等比公式求和公式得:
b1+b2+b3+……+b10=(1/3)×(1-(1/4)^10)
故:1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21
=1/2+(b1+b2+b3+……+b10)
=1/2+(1/3)×(1-(1/4)^10)
2,
证明:
因为:an=S(n-1)+2……(1)
所以:a(n+1)=Sn+2……(2)且Sn-S(n-1)=an
所以(2)-(1),得:
a(n+1)-an=an,即:a(n+1)/an=2
故数列{an}是首项a1=2,公比q为2的等比数列得证.
所以:an=a1×q^(n-1)=2^n为所求.
1.Sn=[4-(-2)^n]/3,a1=2,an=Sn-S(n-1)=(-2)^(n-1),(n大于等于2),
原式=1/2+1/4+1/16+……+1/(-2)^20=1/2+1/4*[(1-(1/4)^10)/(1-1/4)]约等于5/6
2.因an=S(n-1)+2(n>=2),两边加an,有2an=Sn+2=a(n+1)(n>=2),又a2=S1+2=a1+2=4=2a1,从而an是等比,且q=2,从而通项an=2^n
(1)a1=2,1/a1=1/2,
n>1,an=[4-(-2)^n]/3-[4-(-2)^(n-1)]/3=(-2)^(n-1),1/an=(-1/2)^(n-1)
1/a3,1/a5,…,1/a21为10个1/a3=1/4为首项的等比数列,q=1/4,再加上1/a1=1/2,即可
1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21=1/2+[1-(1/4)^10]/3=5/6...
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(1)a1=2,1/a1=1/2,
n>1,an=[4-(-2)^n]/3-[4-(-2)^(n-1)]/3=(-2)^(n-1),1/an=(-1/2)^(n-1)
1/a3,1/a5,…,1/a21为10个1/a3=1/4为首项的等比数列,q=1/4,再加上1/a1=1/2,即可
1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21=1/2+[1-(1/4)^10]/3=5/6-[(1/4)^10]/3
(2)递推法,a1=2,a2=S(1)+2=a1+2=4,a3=8,
设an=2^n,Sn=2[(2^n)-1],
a(n-1)=Sn+2=2[(2^n)-1]+2=2*(2^n)=2^(n+1)成立。
所以,等比数列,an=2^n
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