不等式证明：a＋b＝1,证明 （ab）的n次方＋1/（ab）的n次方>=4的n次方+1/4的n次方ab均大于0

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/13 01:22:35
不等式证明：a＋b＝1,证明 （ab）的n次方＋1/（ab）的n次方>=4的n次方+1/4的n次方ab均大于0
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不等式证明：a＋b＝1,证明 （ab）的n次方＋1/（ab）的n次方>=4的n次方+1/4的n次方ab均大于0
不等式证明：a＋b＝1,证明 （ab）的n次方＋1/（ab）的n次方>=4的n次方+1/4的n次方
ab均大于0

不等式证明：a＋b＝1,证明 （ab）的n次方＋1/（ab）的n次方>=4的n次方+1/4的n次方ab均大于0
ab应该不能为负数吧.
1=（a+b）²≥4ab
0≤ab≤1/4
设t=ab∈[0,1/4]
f(t)=t^n+t^(-n)在[0,1/4]上单调递减
f(t)≥f(1/4)=4^n+4^(-n)

ab≤((a＋b)/2)^2＝1/4
(ab)^n+(1/(ab))^n≥4^n+1/4^n

证明:显然还应有条件a,b>0,由a+b=1,据基本不等式ab<=((a+b)^2)/4得:x=ab<=1/4;
f(x)=(ab)^n+(1/ab)^n=x^n+1/x^n=(x^(n/2)-1/x^(n/2))^2+2,显然当x^(n/2)<=1,即是x<=1时,f(x)是递减的,从而有f(x)>=f(1/4)=4^n+1/4^n

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