已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=?AG=mAM+nAN,共线条件得m+n=1AG=(1/3)AB+(1/3)ACAM=xAB,AN=yAC于是mx=1/3,ny=1/3得m=1/(3x),n=1/(3y)于是1/(3x
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/08 19:14:33
![已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=?AG=mAM+nAN,共线条件得m+n=1AG=(1/3)AB+(1/3)ACAM=xAB,AN=yAC于是mx=1/3,ny=1/3得m=1/(3x),n=1/(3y)于是1/(3x](/uploads/image/z/6632022-30-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%82%B9G%E4%B8%BA%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E9%87%8D%E5%BF%83+%E8%BF%87G%E4%BD%9C%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E4%B8%8EAB+AC%E4%B8%A4%E8%BE%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BA%A4%E4%B8%8EM+N+%E4%B8%A4%E7%82%B9+%E4%B8%94%E5%90%91%E9%87%8FAM%3DxAB+AN%3DyAC+%E5%88%99xy%2Fx%2By%3D%3FAG%3DmAM%2BnAN%2C%E5%85%B1%E7%BA%BF%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E5%BE%97m%2Bn%3D1AG%3D%EF%BC%881%2F3%EF%BC%89AB%2B%EF%BC%881%2F3%EF%BC%89ACAM%3DxAB%2CAN%3DyAC%E4%BA%8E%E6%98%AFmx%3D1%2F3%2Cny%3D1%2F3%E5%BE%97m%3D1%2F%EF%BC%883x%EF%BC%89%2Cn%3D1%2F%EF%BC%883y%EF%BC%89%E4%BA%8E%E6%98%AF1%2F%EF%BC%883x)
已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=?AG=mAM+nAN,共线条件得m+n=1AG=(1/3)AB+(1/3)ACAM=xAB,AN=yAC于是mx=1/3,ny=1/3得m=1/(3x),n=1/(3y)于是1/(3x
已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=?
AG=mAM+nAN,共线条件得m+n=1
AG=(1/3)AB+(1/3)AC
AM=xAB,AN=yAC
于是mx=1/3,ny=1/3
得m=1/(3x),n=1/(3y)
于是1/(3x)+1/(3y)=1
3=(x+y)/xy
得xy/(x+y)=1/3
问:为什么m+n=1,还有为什么1/3AM+1/3AN=AG?
已知点G为三角形ABC的重心 过G作直线与AB AC两边分别交与M N 两点 且向量AM=xAB AN=yAC 则xy/x+y=?AG=mAM+nAN,共线条件得m+n=1AG=(1/3)AB+(1/3)ACAM=xAB,AN=yAC于是mx=1/3,ny=1/3得m=1/(3x),n=1/(3y)于是1/(3x
先回答第一个问题:
这是一个向量共线的基本问题:如果向量满足OA=mOB+nOC的关系(其中m、n为非零实数),且A、B、C三点共线,则必有m+n=1;相反地,如果向量满足OA=mOB+nOC的关系(其中m、n为非零实数),且m+n=1,则必有A、B、C三点共线.证明如下(以本题为例):
因为向量MG与向量MN共线(为表述方便,以下线段均指向量),则MG=λMN(λ≠0)
而MG=AG-AM,MN=AN-AM
所以AG-AM=λ(AN-AM),整理得AG=(1-λ)AM+λAN
令m=1-λ,n=λ,则m+n=1.证毕
第二问题引用有误,不是1/3AM+1/3AN=AG,而是1/3AB+1/3AC=AG
这是重心定理的应用:重心到顶点的距离等于该中线的2/3.以上1/3AB+1/3AC=AG是正确的,理由如下:
设A点的中线为AD,由平行四边形法则(将三角形补成平行四边形)知2AD=AB+AC
而AG=2/3AD
所以有1/3AB+1/3AC=AG